Lời giải:

Vì \(a+b+c=6\) nên BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{ab}{2b+c+a+b+c}+\frac{bc}{2c+a+a+b+c}+\frac{ca}{2a+b+a+b+c}\leq 1(*)\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{ab}{2b+c+a+b+c}=\frac{ab}{(b+c)+(c+a)+2b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2b}\right)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{bc}{2c+a+a+b+c}\leq \frac{bc}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)\)

\(\frac{ca}{2a+b+a+b+c}\leq \frac{ca}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2a}\right)\)

Cộng các BĐT vừa thu được lại ta có:

\(\text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(a+b+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{1}{9}\left(6+\frac{6}{2}\right)=1\)

BĐT \((*)\) hoàn tất, ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\text{VT}=\frac{ab}{6+2b+c}+\frac{bc}{6+2c+a}+\frac{ca}{6+2a+b}=\frac{ab}{a+b+c+2b+c}+\frac{bc}{a+b+c+2c+a}+\frac{ca}{a+b+c+2a+b}\)

\(=\frac{ab}{2b+(a+c)+(b+c)}+\frac{bc}{2c+(a+b)+(a+c)}+\frac{ca}{2a+(b+a)+(b+c)}\)

\(\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{2b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\text{VT}\leq \frac{a+b+c}{18}+\frac{ab+bc}{9(a+c)}+\frac{ab+ac}{9(b+c)}+\frac{bc+ac}{9(a+b)}\)

\(\text{VT}\leq \frac{(a+b+c)}{6}=\frac{6}{6}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

Có \(ab+bc+ac=abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)

Áp dụng các bđt sau:Với x;y;z>0 có: \(\dfrac{1}{x+y+z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) và \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) 

Có \(\dfrac{1}{a+3b+2c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}\right)\)\(\le\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)

CMTT: \(\dfrac{1}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)

\(\dfrac{1}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)

Cộng vế với vế => \(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{36}.6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=3

Có \(a+b=2\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le1\)

\(E=\left(3a^2+2b\right)\left(3b^2+2a\right)+5a^2b+5ab^2+2ab\)

\(=9a^2b^2+6\left(a^3+b^3\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)

\(=9a^2b^2+6\left(a+b\right)^3-18ab\left(a+b\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)

\(=9a^2b^2+48-18ab.2+4ab+5.2.ab+20ab\)

\(=9a^2b^2-2ab+48\)

Đặt \(f\left(ab\right)=9a^2b^2-2ab+48;ab\le1\), đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{9};\dfrac{431}{9}\right)\)

Hàm đồng biến trên khoảng \(\left[\dfrac{1}{9};1\right]\backslash\left\{\dfrac{1}{9}\right\}\)

 \(\Rightarrow f\left(ab\right)_{max}=55\Leftrightarrow ab=1\)

\(\Rightarrow E_{max}=55\Leftrightarrow a=b=1\)

Vậy...

2,

\(ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=1\Rightarrow0\le ab\le1\)

\(E=9a^2b^2+6\left(a^3+b^3\right)+5ab\left(a+b\right)+24ab\)

\(=9a^2b^2+6\left(a+b\right)^3-18ab\left(a+b\right)+5ab\left(a+b\right)+24ab\)

\(=9a^2b^2-2ab+48\)

Đặt \(ab=x\Rightarrow0\le x\le1\)

\(E=9x^2-2x+48=\left(x-1\right)\left(9x+7\right)+55\le55\)

\(E_{max}=55\) khi \(x=1\) hay \(a=b=1\)

\(1.VP\)

\(\left(a+b\right)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab\)

\(=a^2+b^2=VT\left(DPCM\right)\)

1/  (a + b)² - 2ab = a² + 2ab + b² - 2ab = a² + b² + (2ab - 2ab) = a² + b²

2/  (a² + b²)² - 2a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ - 2a²b² = a⁴ + b⁴ + (2a²b² - 2a²b²) = a⁴ + b⁴

rảnh ko, tự phân tích hết cái đống hổ lốn lộn xộn ra là làm được, đăng lên làm j, c ko phải ng lp 8, tối đoán thế, tự phân tích, triệt tiêu đi, là ra vế trái, đơn giản, lằng nhằng lôi thôi lếch thếch nhưng nó hợp vs cái ng như c đấy

bn vô câu hỏi tương tự có hết nhé