Ôn tập cuối năm môn Đại số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Le van a

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{ab}{6+2b+c}+\dfrac{bc}{6+2c+a}+\dfrac{ca}{6+2a+b}\le1\).

Akai Haruma
4 tháng 4 2018 lúc 1:05

Lời giải:

Vì \(a+b+c=6\) nên BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{ab}{2b+c+a+b+c}+\frac{bc}{2c+a+a+b+c}+\frac{ca}{2a+b+a+b+c}\leq 1(*)\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{ab}{2b+c+a+b+c}=\frac{ab}{(b+c)+(c+a)+2b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2b}\right)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{bc}{2c+a+a+b+c}\leq \frac{bc}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)\)

\(\frac{ca}{2a+b+a+b+c}\leq \frac{ca}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2a}\right)\)

Cộng các BĐT vừa thu được lại ta có:

\(\text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(a+b+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{1}{9}\left(6+\frac{6}{2}\right)=1\)

BĐT \((*)\) hoàn tất, ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Akai Haruma
28 tháng 5 2019 lúc 0:47

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\text{VT}=\frac{ab}{6+2b+c}+\frac{bc}{6+2c+a}+\frac{ca}{6+2a+b}=\frac{ab}{a+b+c+2b+c}+\frac{bc}{a+b+c+2c+a}+\frac{ca}{a+b+c+2a+b}\)

\(=\frac{ab}{2b+(a+c)+(b+c)}+\frac{bc}{2c+(a+b)+(a+c)}+\frac{ca}{2a+(b+a)+(b+c)}\)

\(\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{2b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\text{VT}\leq \frac{a+b+c}{18}+\frac{ab+bc}{9(a+c)}+\frac{ab+ac}{9(b+c)}+\frac{bc+ac}{9(a+b)}\)

\(\text{VT}\leq \frac{(a+b+c)}{6}=\frac{6}{6}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$


Các câu hỏi tương tự
Kinder
Xem chi tiết
Vũ Phương Linh
Xem chi tiết
Melanie Granger
Xem chi tiết
Ngọc My
Xem chi tiết
Phạm Thúy Vy
Xem chi tiết
Ryoji
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Huỳnh Thoại
Xem chi tiết