Đề sai với $b=0,1; c=0,2; a=0,25$

Xét tam thức f(x) = b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 có:

Δ = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

    = (b2 + c2 - a2 - 2bc)(b2 + c2 - a2 + 2bc)

    = [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]

    = (b – c – a)(b – c + a)(b + c + a)(b + c – a).

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:

    b < c + a ⇒ b – c – a < 0

    c < a + b ⇒ b – c + a > 0

    a < b + c ⇒ b + c – a > 0

    a, b, c > 0 ⇒ a + b + c > 0

⇒ Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với b2 ∀x hay f(x) > 0 ∀x (đpcm).

a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0

Ta có: (b – c)2 < a2

⇔ a2 – (b – c)2 > 0

⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0

⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).

Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)

b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :

( a – b)2 < c2 (2)

(c – a)2 < b2 (3)

Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2

⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2

⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2

⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).

Chọn B.

Ta có:

a(a² – c²) = b(b² – c²) ⇔ a³ – ac² = b³ – bc²

⇔ a³ – b³ = ac² – bc²

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) = c²(a – b)

⇔ a² + ab + b² = c²

⇔ ab = c² – a² – b²

Ta lại có: 

ta có \(\left(a-b\right)^2>=0\) => \(a^2+b^2>=2ab\)

tương tự ta có \(b^2+c^2>=2bc\)

                        \(c^2+a^2>=2ac\)

cộng từng vế của 3 BĐt cùng chiều ta có \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)>=2\left(ab+bc+ca\right)\)

                                                                    => \(a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca\)

dấu = xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)

<=> a=b=c

<=> tam giác ABC là tam giác đều(ĐPCM)

Từ giả thiết suy ra 
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0 (nhân bung cái này sẽ ra cái giả thiết ban đầu). 
Từ đó suy ra: a=b, b=c và c=a. (Do tổng của 3 bình phương mà lại bằng 0 tức là các bình phương đó đều phải bằng 0). Suy ra tam giác đó đều 
Cách của bạn phía trên sai. Bạn đang chứng minh chiều nghịch của bài toán

thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được

(a+b+c).(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0

nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0

mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0

vậy a^2+b^2+c^2 -ab-bc-bc-ca=0

đặt đa thức đó bằng A

A=0 nên 2xA=0

phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

nên a=b=c vậy là tam giác đều 

\(\Leftrightarrow ab\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+bc\left(\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}\right)+ca\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) hay tam giác cân