- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’. Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B lớn hơn hoặc bằng A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’ 

a)  Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IE}\)

 \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

\(2\overrightarrow{IE}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

b) \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|\)

\(=\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IC}\right|\)

\(=5MI\)

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|min\Leftrightarrow MImin\)

                                           \(\Leftrightarrow\) M là hình chiếu của I trên d

Ta có |MA − MB| ≥ 0 với một điểm M tùy ý và |MA − MB| = 0 chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.

Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA − MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’. Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B lớn hơn hoặc bằng A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’ 

Kẻ IH vuông vs AB 

ta có: AH+IH > IA (bdttg) (1)

IH+HB > IB (2)

lấy 1 - 2 vế theo vế 

AH-HB > IA-IB

<=> l AH-HB l >= l IA-IB l (cái này a k vững kiến thức nè :3 ..mà 3>-3 => l3l >= l-3l )

mà AH-HB = AM-HM+MB+HM = AM - MB

=> l AM - MB l >= l IA-IB l => l IA - IB l lớn nhất khi bằng l AM - MB l mà M thuộc AB => I trùng M (chỗ này e hỉu thì giải thích rõ ràng hơn)