Bài 31:

Vì (d)//y=5x+4 nên a=5

=>(d): y=5x+b

Thay x=0 và y=-1 vào (d), ta được:

b+5*0=-1

=>b=-1

1.

\(\Delta=m^2-4\left(2m-5\right)=\left(m-4\right)^2+4>0;\forall m\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow m\ne-2\)

\(A=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2+2}=\frac{2m-5}{m+2}=2-\frac{9}{m+2}\)

\(A\in Z\Rightarrow\frac{9}{m+2}\in Z\Rightarrow m+2=Ư\left(9\right)\)

\(\Rightarrow m+2=\left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\)

\(\Rightarrow m=\left\{-11;-5;-3;-1;1;7\right\}\)

2.

Hệ pt tọa độ giao điểm A của d1 và d2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\-2x+y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)

Để 3 đường thẳng đồng quy \(\Leftrightarrow\) d qua A

\(\Leftrightarrow1=\left(m-2\right).1+m+3\Rightarrow2m=0\Rightarrow m=0\)

b/ Gọi \(B\left(x;y\right)\) là điểm cố định mà d luôn đi qua

\(\Leftrightarrow y=\left(m-2\right)x+m+3\) ; \(\forall m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+1\right)+\left(-2x-y+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\-2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy d luôn đi qua \(B\left(-1;5\right)\)

b, \(d\left(I;\Delta\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|-2+6+m\right|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=9\\m=-17\end{matrix}\right.\)

c, Dễ tìm được tọa độ A, B: \(\left\{{}\begin{matrix}A=\left(-3,-1\right)\\B=\left(2,0\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: \(\Delta_1:ax+by+3a+b=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)

Ta có: \(d\left(I,\Delta_1\right)=\dfrac{\left|-a+2b+3a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{13}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+3b\right)^2=13a^2+13b^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+9b^2+12ab=13a^2+13b^2\)

\(\Leftrightarrow9a^2+4b^2-12ab=0\)

\(\Leftrightarrow9a^2+4b^2-12ab=0\)

\(\Leftrightarrow3a=2b\)

\(\Rightarrow\Delta_1:2x+3y+9=0\)

Tương tự tiếp tuyến tại B: \(\Delta_2:3x-2y-6=0\)

a, ​\(R=IM=\sqrt{\left(-3+1\right)^2+\left(5-2\right)^2}=\sqrt{13}\)​

Phương trình đường tròn: \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=13\)