Cho góc nhọn xOy vầ điểm M nằm ở miền trong của góc nhọn. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy. Vẽ các đường tròn đường kính ME và MF cắt OM lần lượt tại P,Q; EF cắt OM tại H . CMR:
Để chứng minh QO⋅QMOP⋅PM=HF^2/HE^2, ta sẽ sử dụng định lí hình học và tính chất của các tam giác đồng dạng.
Đầu tiên, ta cần chứng minh tam giác QOM và tam giác MOP đồng dạng. Ta có:
∠QOM = ∠MOP (do chúng là góc đối) ∠OQM = ∠OMP (do chúng là góc ở chung) => Tam giác QOM đồng dạng với tam giác MOP theo định lí góc-góc (AA).
Từ đó, ta có tỷ lệ giữa các cạnh của hai tam giác này:
QM/OP = OQ/OM (tỷ lệ cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng) => QM = OQ/OM * OP
Tiếp theo, ta cần chứng minh tam giác HEF và tam giác HOM đồng dạng. Ta có:
∠HEF = ∠HOM (do chúng là góc đối) ∠EHF = ∠OHM (do chúng là góc ở chung) => Tam giác HEF đồng dạng với tam giác HOM theo định lí góc-góc (AA).
Từ đó, ta có tỷ lệ giữa các cạnh của hai tam giác này:
HE/OM = EF/OM (tỷ lệ cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng) => HE = EF/OM * OM => HE = EF
Như vậy, ta có HE = EF.
Bây giờ, ta sẽ xem xét tỷ lệ giữa các đoạn thẳng QO, QM, OP, PM và HF, HE:
QO⋅QMOP⋅PM = (OQ/OM * OP) * (OP) * (PM) = OQ * OP * PM / OM = OQ * PM
Vì HE = EF, nên ta có:
HF/HE = QM/OM (tỷ lệ cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng HEF và HOM) => HF = QM/OM * HE
Thay giá trị của HE = EF vào, ta có:
HF = QM/OM * EF
Vậy, ta thấy HF^2 = (QM/OM * EF)^2
Như vậy, ta có:
QO⋅QMOP⋅PM = HF^2/HE^2
Vậy, điều phải chứng minh đã được chứng minh.
Cho góc nhọn xOy vầ điểm M nằm ở miền trong của góc nhọn. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy. Vẽ các đường tròn đường kính ME và MF cắt OM lần lượt tại P,Q; EF cắt OM tại H . CMR: \(\frac{QO\cdot QM}{OP\cdot PM}=\frac{^{HF^2}}{HE^2}\)
Cho góc vuông xOy. Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Đường tròn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M), đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N)
a, Chứng minh (I) và (K) luôn cắt nhau
b, Tiếp tuyến tại M của (I), tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C. Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông
c, Gọi A, B là các giao điểm của (I) và (K) trong đó B ở miền trong góc xOy. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
d, Giả sử I và K thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a không đổi. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
a, Chỉ ra |OI – OK| < IK < OI + OK => (1) và (k) luôn cắt nhau
b, Do OI=NK, OK=IM => OM=ON
Mặt khác OMCN là hình chữ nhật => OMCN là hình vuông
c, Gọi{L} = KB ∩ MC, {P} = IBNC => OKBI là Hình chữ nhật và BNMI là hình vuông
=> ∆BLC = ∆KOI
=> L B C ^ = O K I ^ = B I K ^
mà B I K ^ + I B A ^ = 90 0
L B C ^ + L B I ^ + I B A ^ = 180 0
d, Có OMCN là hình vuông cạnh a cố định
=> C cố định và AB luôn đi qua điểm C
Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO)
a, Chứng minh MA. MB = ME.MF
b, Gọi H là hình chiêu vuông góc của điểm c lên đuờng thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp
c, Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh các đường thẳng MS và KC vuông góc nhau
d, Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng
a, HS tự chứng minh
b, MH.MO = MA.MB ( = M C 2 )
=> ∆MAH:∆MOB (c.g.c)
=> M H A ^ = M B O ^
M B O ^ + A H O ^ = M H A ^ + A H O ^ = 180 0
=> AHOB nội tiếp
c, M K 2 = ME.MF = M C 2 Þ MK = MC
∆MKS = ∆MCS (ch-cgv) => SK = SC
=> MS là đường trung trực của KC
=> MS ^ KC tại trung của CK
d, Gọi MS ∩ KC = I
MI.MS = ME.MF = M C 2 => EISF nội tiếp đường tròn tâm P Þ PI = PS. (1)
MI.MS = MA.MB (= M C 2 ) => AISB nội tiếp đường tròn tâm Q Þ QI = QS. (2)
Mà IT = TS = TK (do DIKS vuông tại I). (3)
Từ (1), (2) và (3) => P, T, Q thuộc đường trung trực của IS => P, T, Q thẳng hàng
Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).
a. Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF
b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.
c. Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.
d. Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
Cho góc xoy nhọn trên cạnh ox và oy lần lượt lấy điểm M và N sao cho. ON=OM.Tia phân giác của góc xoy cắt mn tại i a) CM OI vuông góc MN b) gọi p là hình chiếu N trên Oy,Q là giao điểm của NP với OI.CM MQ vuông góc với Ox c) giả sử góc xoy=60^ ON=OM=6 cm.Tính độ dài OQ
Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đấy Từ M kẻ các đường vuông góc MA MB lần lượt xuống Ox và Oy Gọi C là trung điểm của đoạn OM P là trung điểm của đoạn AB Cm CP là đường trung trực của tam giác ABC
Vẽ cả hình giúp e vs ạ
Sửa đề: M nằm trên tia phân giác của góc xOy
Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOBM vuông tại B có
OM chung
góc AOM=góc BOM
=>ΔOAM=ΔOBM
=>MA=MB
mà OA=OB
nên OM là trung trực của AB
=>O,C,P thẳng hàng và OP vuông góc với AB tại P
=>CP là trung trực của ΔCAB
Cho góc nhọn xOy . Trên Ox,Oy lần lượt lấy 2 điểm A,B sao cho OA=OB. Các đường thẳng vuông góc với Ox,Oy tại A,B cắt nhau tại .
â,Chứng minh M nằm trên tia phân giác của góc xOy
b,Chứng minh OM là trung trực của đoạn AB(nhờ các bạn giải giùm mình và vẽ hình giùm mình [nếu có thể]
Cho góc vuông xOy và 2 điểm A,B nằm trên Ox(A nằm giữa O và B). Điểm M bất kỳ trên cạnh Oy. Đường tròn (T), đường kính AB cắt tia MA , MB lần lượt tại C và E. Tia OE cắt (T) tại F
a) c/m: O;A;E;M nằm trên 1 đường tròn
b) tg OCFM là hình gì?
c) c/m OE.OF+BE.BM=OB^2
d) xác định vị trí điểm M để tg OCFM là hbh. Tìm mối quan hệ giữa OA và AB để tứ giác là hình thoi
