a) n⁴ - n² = n²(n² - 1) = n²(n - 1)(n + 1)

Vì n, n - 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp ⇒ có ít nhất 1 số chia hết cho 3 ⇒ (n - 1)n(n + 1) ⋮ 3 ⇒ n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 3 (1)

Vì n, n - 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp ⇒ có ít nhất một số chia hết cho 2.

Giả sử số chia hết cho 2 đó là n - 1 ⇒ n + 1 cũng chia hết cho 2 ⇒ (n -1)(n + 1) ⋮ 4 ⇒ n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Nếu số chia hết cho 2 đó là n + 1, lập luận tương tự ta cũng có n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Nếu n ⋮ 2

⇒ n² ⋮ 4 => n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Như vậy n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4 (2)

Từ (1) và (2)

⇒ n⁴ - n² ⋮ 3 và 4 mà ƯCLN(3;4) = 1

⇒ n⁴ - n² ⋮ 12

b) 

Ta thấy rằng  chia hết cho  với mọi số tự nhiên . Vậy để chứng minh  chia hết cho ta cần chứng minh  chia hết cho 24.

Để ý rằng  là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp, từ đó suy ra chắc chắn một trong bốn số đó phải có một số chia hết cho 4, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2.

Vậy  chia hết cho 

Vậy ta có đpcm.

1. Câu hỏi của Nguyễn Mai - Toán lớp 9 - Học trực tuyến OLM

3.

\(a,A=n^3-n+7=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+7\)

Có \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số tự nhiên lt với \(n\in N\) nên chia hết cho 6

Mà 7 ko chia hết cho 6 nên A không chia hết cho 6

\(b,B=n^3-n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Như câu a thì B chia hết cho 6 hay B chia hết cho 3

Ta thấy n lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow B=n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\\ =\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)\\ =2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)\\ =4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\)

Mà k+1 và 2k+1 là 2 số tự nhiên lt nên chia hết cho 2

\(\Rightarrow B⋮4\cdot2\left(2k+1\right)=8\left(2k+1\right)⋮8\)

Vì B chia hết cho cả 3;8 và \(\left(3;8\right)=1\) nên B chia hết 24

\(c,C=n^4+6n^3+11n^2+6n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Ta thấy đây là 4 số tự nhiên lt với \(n\in N\) nên chia hết cho 24

Đặt n² = x \(\left(x\in N\right)\)

Ta có: (x - 4)(x - 14) (x- 24) (x - 34 ) < 0

Lập bảng xét dấu (Hoặc dùng phương pháp khoảng) ta sẽ thu được kết quả:

4 < x < 14 hoặc 24 < x < 34

Dễ thấy chọn được 2 số chính phương trong các khoảng trên: x = 9; x = 25 => n = +/- 3; n = +/- 5

\(2^{n+2}-2^n=24\)

\(\Rightarrow2^n\left(4-1\right)=24\)

\(\Rightarrow2^n=8=2^3\)

Vì \(2\ne\pm1;2\ne0\) nên \(n=3\).

Vậy......................

Chúc bạn học tốt!!!

Giải:

\(2^{n+2}-2^n=24\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(2^2-1\right)=24\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(4-1\right)=24\)

\(\Leftrightarrow2^n.3=24\)

\(\Leftrightarrow2^n=\dfrac{24}{3}=8\)

\(\Leftrightarrow2^n=2^3\)

Vì \(2=2\)

\(\Rightarrow n=3\)

Vậy \(n=3\).

Chúc bạn học tốt!!!

\(2^{n+2}-2^n=24\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(2^2-1\right)=24\)

\(\Leftrightarrow2^n.3=24\)

\(\Leftrightarrow2^n=8\)

\(\Leftrightarrow2^n=2^3\)

\(\Leftrightarrow n=3\left(tm\right)\)

Vậy ...

Đề phải cho n thuộc N sao chứ bạn

Có : 5^n+2 + 3^n+2 - 3^n - 5^n

 = (5^n+2 - 5^n)+(3^n+2 - 3^n)

 = 5^n.(5^2-1)+3^n-1.(3^3-3) ( vì n thuộc N sao nên n-1 > 0 )

 = 5^n.24 + 3^n-1.24

 = 24.(5^n+3^n-1) chia hết cho 24

=> ĐPCM

Tk mk nha

5ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺² - 3ⁿ - 5ⁿ

= ( 5ⁿ⁺² - 5ⁿ ) + ( 3ⁿ⁺² - 3ⁿ )

= 5ⁿ . ( 5² - 1 ) + 3ⁿ . ( 3² - 1 )

= 5ⁿ . 24 + 3ⁿ . 8

= 5ⁿ . 24 + 3^n-1 . 24

= 24 . ( 5ⁿ + 3^n-1 ) \(⋮\)24

4n²(n+2)+4n(n+2)

=4n³+8n²+4n²+8n

=4n²+12n²+8n

=4n(n+3n+2)

Vì :24 chia hết cho 4 

\(\Leftrightarrow4n\left(n+3n+2\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a) Ta có: ( n   +   3 ) 2   -   ( n   - 1 ) 2  = 8(n +1) chia hết cho 8.

b) Ta có: ( n   +   6 ) 2   -   ( n   -   6 ) 2  = 24n chia hết cho 24.

a, (n+2)²-(n-2)²=(n+2+n-2)(n+2-n+2)

=2n.4

=8n\(⋮\)8

Vậy....

b, (n+7)²-(n-5)²=(n+7+n-5)(n+7-n+5)

=2(n-1).12

=24(n-1)\(⋮\)24

Vậy...