theo đề bài ta có

`x+y=a`

`<=>(x+y)^2=a^2`

`<=>x^2+2xy+y^2=a^2`(1)

có

\(x^2+y^2\ge\dfrac{a^2}{2}\)

\(< =>\)\(2x^2+2y^2\ge a^2\)

thay (1) ta có

\(=>2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)

\(< =>2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)

\(< =>x^2-2xy+y^2\ge0\)

`<=>(x-y)^2>=0` (đúng)

dấu ''='' xảy ra khí `x=y`

\(a^2+b^2+4=ab-2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8=2ab-4a-4b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+4a+4\right)+\left(b^2+4b+4\right)+\left(a^2-ab+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a-b\right)^2=0\)

Do \(\left(a+2\right)^2,\left(b+2\right)^2,\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2=0\\b+2=0\\a-b=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=-2\left(đpcm\right)\)

a,

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{d}\\ \Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{ab}{bd}\\ \Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{b^2+d^2}=\dfrac{a}{d} \)

Bài 1 : Câu hỏi của ngô minh hoàng - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bài 2 :

\(a^2=bc\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\) \(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\) (tính chất tỉ lệ thức)

Sử dụng tính đơn điệu của hàm mũ: hàm \(y=a^x\) nghịch biến khi \(0< a< 1\) và đồng biến khi \(a>1\)

\(a^2=b^2+c^2\Rightarrow\left(\dfrac{b}{a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< \dfrac{b}{a}< 1\\0< \dfrac{c}{a}< 1\end{matrix}\right.\) nên các hàm \(\left(\dfrac{b}{a}\right)^x\) và \(\left(\dfrac{c}{a}\right)^x\) đều nghịch biến

Xét: \(\dfrac{b^m+c^m}{a^m}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^m+\left(\dfrac{c}{a}\right)^m\) \(\)

- Khi \(m>2\Rightarrow\left(\dfrac{b}{a}\right)^m< \left(\dfrac{b}{a}\right)^2\) và \(\left(\dfrac{c}{a}\right)^m< \left(\dfrac{c}{a}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{b}{a}\right)^m+\left(\dfrac{c}{a}\right)^m< \left(\dfrac{b}{a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a}\right)^2=1\)

Hay \(\dfrac{b^m+c^m}{a^m}< 1\) \(\Rightarrow a^m>b^m+c^m\)

Câu b c/m tương tự, \(m< 2\) thì \(\left(\dfrac{b}{a}\right)^m>\left(\dfrac{b}{a}\right)^2...\)

ta có (a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

nếu (a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)

=> 3a^2+3b^2+3c^2=a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ac

=> 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac

=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac

=>a.a+b.b+c.c=ab+bc+ac

=>a=b=c

=> đpcm