Ta có: \(a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-2a^2b\right)+\left(a^2b-2ab^2\right)+\left(3ab^2-6b^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-2b\right)+ab\left(a-2b\right)+3b^2\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(a^2+ab+3b^2\right)=0\)

mà \(a^2+ab+3b^2>0\forall a>b>0\)

nên a-2b=0

hay a=2b

Ta có: \(P=\dfrac{a^4-b^4}{b^4-4a^4}\)

\(=\dfrac{\left(2b\right)^4-b^4}{b^4-4\cdot\left(2b\right)^4}=\dfrac{16b^4-b^4}{b^4-4\cdot16b^4}=\dfrac{15b^4}{-63b^4}=\dfrac{-5}{21}\)

đặt \(3^{13579}=m\).

Vì (3;13579)=1 nên (13579;m)=1 (*)

đem m+1 số \(13579;13579^2;...;13579^{m+1}\)chia cho m

Theo nguyên lý Dirichle  trong m+1 số trên có ít nhất 2 số khi chia cho m có cùng số dư

Gọi 2 số đó là \(13579^x\&13579^y\)(tự đk cho x;y)

giả sử x>y

=>13579^x-13579^y chia hết cho m

=>\(13579^y\left(13579^{x-y}-1\right)\)chia hết cho m

mà 13579^y không chia hết cho m nên 13579^x-y  -1 chia hết cho m

=>tồn tại n=x-y thỏa mãn đề bài

tại sao 13579^y ko chia hết cho m

vì (*) mk có đánh dấu vào đó

BĐT cần  chứng minh tương đương với :

\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2+\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge9\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ,ta có :

\(a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\ge3\sqrt[3]{a^2b.a^2b.\frac{1}{ab^2}}=3a\)

tương tự :  \(b^2c+bc^2+\frac{1}{bc^2}\ge3b\), \(\left(c^2a+ca^2+\frac{1}{ca^2}\right)\ge3c\)

Cộng 3 BĐT trên theo vế, ta được :

\(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

chuyển VP sang VT là đc mà

chuyển đi

làm đi chứ đừng gợi ý cho người khác