2^m-2^n=2^8

=>m=9,n=8

Giả sử m ≥ n ⇒ 2^m ≥ 2ⁿ

Chia cả 2ⁿ ≠ 0 ⇒ 2^m-n + 1 = 2^m

 + Nếu m=0 ⇒ 2^-n=0 (loại)

 + Nếu m≥1 ⇒ 2^m chẵn 

                   ⇒ 2^m-n lẻ ⇒ m-n=0 ⇔ m=n

   ⇒ 2^m=2⁰+1 ⇒ 2^m=2 ⇔ m=1 ⇒ n=1 (tm)

Vậy, m=n=1

 Đặt A = m² + n² + 2.m.n +m + 3n + 2 ta có :

A > m² +n² + 2.m.n =( m+n )² ; 

và A<m² +n² + 4 +2.m.n + 4.m+ 4n = ( m+n+ 2 )² 

Vậy A nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên : 

A chính phương <=> A = ( m + n + 1 )² 

                            <=> A = m² + n² + 2.m.n + 2.m + 2.n + 1 <=> m = n + 1 

Vậy n \(\in\)N tùy ý và m = n+ 1 

Ta có:  \(2m^2=n^2-2\)

\(m^2+2=n^2-m^2\)

mà \(m^2+2\)là số nguyên tố 

=>\(n^2-m^2\)là số nguyên tố. Lại có: \(n^2-m^2=\left(n-m\right)\left(n+m\right)\)

=>\(\orbr{\begin{cases}n-m=1\\n+m=1\end{cases}}\)(Vì SNT chỉ chia hết cho 1 hoặc chính nó)

=>\(\orbr{\begin{cases}2m^2=\left(1+m\right)^2-2\\2m^2=\left(1-m\right)^2-2\end{cases}}\)=>\(\orbr{\begin{cases}m^2-2m+1=0\\m^2+2m+1=0\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}m=1\\m=-1\end{cases}}\)<=>\(m=1\)<=>\(n=2\)

\(\left(m-2\right)\left(n+n-3\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)\left(2n-3\right)=5\)

\(\Rightarrow m-2\inƯ\left(5\right);2n-3\inƯ\left(5\right)\)

...............

Ta có: (m-2).(2n-3) =5 hay 2mn-3m-4n+6==>m=3; n=4