Gọi ƯCLN (12n+1,30n+2) là d

\(\Rightarrow\left(12n+1\right)⋮d\)

\(\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(12n+1\right)-2\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vậy ƯCLN \(\left(12n+1,30n+2\right)=1\Leftrightarrow\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là p/s tối giản \(\left(dpcm\right)\)

Gọi ước chung lớn nhất của 12n+1 và 30n+ 2 là d

\(\Rightarrow\) ( 12n+1) \(⋮\) d và ( 30n+2 ) \(⋮\) d

\(\Rightarrow\) \(\left[5\left(12n+1\right)-2\left(30n+2\right)\right]⋮d\)

\(\Leftrightarrow\) ( 60n + 5 - 60n - 4 ) \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow\) 1 \(⋮\) d hay d= 1

Vậy ước chung lớn nhất của 12n+ 1 và 30n+2 là 1 hay \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản .

Gọi d là UWCLN của ( 12n + 1 , 30n + 2 )

=> \(12n+1⋮d\Rightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\Rightarrow60n+5⋮d\)

\(\Rightarrow30n+2⋮d\Rightarrow2\left(30n+2\right)⋮d\Rightarrow60n+4⋮d\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\Rightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{12n+1}{30n-2}\) là phân số tối giản ( ĐPCM )

gọi d là UCLN(12n+1;30n+2)

ta có:

[5(12n+1)]-[2(30n+2)] chia hết d

=>[60n+5]-[60n+4] chia hết d

=>1 chia hết d

=>d=1

=>phân số trên tối giản

Gọi d là ƯCLN(12n + 1; 30n + 2) Nên ta có :

12n + 1 ⋮ d và 30n + 2 ⋮ d

=> 5(12n + 1) ⋮ d và 2(30n + 2) ⋮ d

=> 60n + 5 ⋮ d và 60n + 4 ⋮ d

=> (60n + 5) - (60n + 4) ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯCLN(12n + 1; 30n + 2) = 1 nên (12n + 1)/(30n + 2) tối giản ( đpcm )

đặt UCLN của ( 12n+1, 30n+2 )= d

suy ra 

12n+1 chia hết cho d, 30n+2 chia hết cho d

60n+5  chia hết cho d, 60n+4 chia hết cho d

suy ra

1 chia hết cho d và d=1

vậy phân số: ...................................... tối giản

Đặt \(d\) là \(\text{Ư}CLN\) \(\left(12n+1;30n+2\right)\)

Theo bài ra: \(12n+1⋮d\Rightarrow5.\left(12n+1\right)⋮d\left(1\right)\)

                    \(30n+2⋮d\Rightarrow2\left(30n+2\right)⋮d\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(5.\left(12n+1\right)-2.\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Mà phân số tối giản thì có \(\text{Ư}CLN\) của tử số và mẫu số là 1

Vậy \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản

Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2

12n + 1 chia hết cho d ; 30n + 2 chia hết cho d

=> 5 ( 12n + 1 ) chia hết cho d ; 2 ( 30n + 2 ) chia hết cho d

=> 60n + 5 chia hết cho d ; 60n + 4 chia hết cho d

=> 60n + 5 - 60n - 4 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> Đpcm

Đặt \(\left(12n+1;30n+2\right)=d\)\(\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số tối giản

Gọi ƯCLN(12n + 1 ; 30n + 2) = d

=> \(\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}\Rightarrow60n+5-\left(60n+4\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> 12n + 1 ; 30n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> 12n + 1/30n + 2 là phân số tối giản

C=\(\dfrac{x-x^3}{x^2+1}\left(\dfrac{1}{1+2x+x^2}+\dfrac{1}{1-x^2}\right)+\dfrac{1}{1+x}\)

\(=\dfrac{x\left(1-x^2\right)}{x^2+1}\left(\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}\right)+\dfrac{1}{1+x}\)

\(=\dfrac{x\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{x^2+1}\left(\dfrac{1-x+1+x}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)^2}\right)+\dfrac{1}{1+x}\)

\(=\dfrac{x\left(1-x\right)\left(1+x\right).2}{\left(x^2+1\right)\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}+\dfrac{1}{1+x}\)

\(=\dfrac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{1}{1+x}\)

\(=\dfrac{2x+\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(1+x\right)}\)

\(=\dfrac{2x+x^2+1}{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(x +1\right)}\)

\(=\dfrac{x+1}{x^2+1}\)

th1 n=2\(A=\frac{12.2+1}{30.2+1}=\frac{25}{61}\)

th2 n=5 \(A=\frac{12.5+1}{30.5+1}=\frac{61}{151}\)

Gọi ƯCLN(12n+1,30n+1) là d đk d thuộc N*

ta có vì 12n+1 chia hết cho d suy ra 60n+5 chia hết cho d

30n+1 chia hết cho d suy ra 60n+2 chia hết cho d

suy ra 60n+5-(60n+2) chia hết cho d

3 chia hết cho d

d thuộc ước của 3

Ư(3)={1;3}

ta có vì 60n+5 ko thể chia hết cho 3

60n+2 ko chia hết cho 3

suy ra d=1

Vì ƯCLN(12n+1,30n+1)=1 suy ra đây là hai số nguyên tố cùng nhau và A là tối giản