Bài này may mình có thi qua rùi.

Đặt

\(A=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}>0\)

=> \(A^2=4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}\)

=> A² - A = 4           

=> A² - A - 4 = 0

Giải phương trình được 2 nghiệm:

\(A_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)

\(A_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}< 0\)( loại vì A>0)

Vậy \(A=\frac{1+\sqrt{17}}{2}< \frac{1+\sqrt{25}}{2}=\frac{1+5}{2}=3\)

Kết luận: \(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}< 3\)

-------------

Chắc bạn ko hiểu chỗ A² - A = 4 nhỉ?

SO SÁNH√4+√4+√4+...+√4

 VỚI 3

SO SÁNH√4+√4+√4+...+√4

 VỚI 3

mấy bà kia sai hết rồi phải như thế này 

A = 4 + 4 + 0 - 8 +4

thế mới là đúng

\(\left(\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}}\right)^2=4+\sqrt{5+\sqrt{6}};3^2=9=4+5\left(1\right)\\ \left(\sqrt{5+\sqrt{6}}\right)^2=5+\sqrt{6};5^2=25=5+20\left(2\right)\\ \left(\sqrt{6}\right)^2=6;20^2=400\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}< 20\)

Thay vào \(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{5+\sqrt{6}}< 5\)

Thay vào \(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}}< 3\)

Ta có: 

\(R=\)\(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\dfrac{3-\sqrt{5}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}\)

\(=\)\(\dfrac{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}{5+\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{5-\sqrt{5}}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{2}{5}}\)

Làm câu S tương tự như này rồi đối chiếu kết quả nha

Ta có:

\(\frac{1-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{1+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\left(1-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)^2}{\left(1+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(1-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{2n+2-2\sqrt{n}+2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n\left(n+1\right)}}{2\left(1+\sqrt{n+1}\right)}\)

\(=\frac{\left[2n+2-2\sqrt{n}+2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\right]\left(1-\sqrt{n+1}\right)}{2\left(1+\sqrt{n+1}\right)\left(1-\sqrt{n+1}\right)}=\frac{-2n\sqrt{n+1}+2n\sqrt{n}}{-2n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Suy ra:

\(Q=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2017}-\sqrt{2016}=\sqrt{2017}-\sqrt{2}< \sqrt{2017}-1=R\)

Vậy Q < R.

100 dấu căn nha

\(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...}}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6+\sqrt{9}}}}}\)(100 dấu căn)

=> \(VT< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6+3}}}}=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+..\sqrt{6+\sqrt{9}}}}}\)(99 dấu căn)

=> \(VT< \sqrt{6+3}=3\)