p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p chia hết cho 3, p chia 3 dư 1, p chia 3 dư 2
bạn xét từng trường hợp của p rồi thay vào là được

+) p là số nguyên tố lớn hơn 3 

=> p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

Với p = 3k + 1 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 3k + 2010) ( 3k + 2012 ) = 3( k + 670 ) ( 3k + 2012 ) \(⋮\)3

Với p = 3k + 2 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 3k + 2011) ( 3k + 2013) = 3( 3k + 2011 ) ( k + 671 ) \(⋮\)3

=>  ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)3 (1)

+) p là số nguyên tố lớn hơn 4 

=> p có dạng 4k + 1 hoặc 4k + 3

Với p = 4k + 1 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 4k + 2010) ( 4k + 2012 ) = 8( 2k + 1005 ) ( k + 503 ) \(⋮\)8

Với p = 4k + 3 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 4k + 2012) ( 4k + 2014) = 8( k + 503 ) ( 2k + 1007 ) \(⋮\)8

=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)8 (2)

Từ (1) ; (2) và ( 3; 8) = 1; 3.8 = 24

=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)24.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\)p là số lẻ 

Đặt \(p=2k+1\left(k\inℕ,k>1\right)\)

\(\Rightarrow\left(p+2019\right)\left(p+2011\right)=\left(2k+1+2019\right)\left(2k+1+2011\right)\)

     \(=\left(2k+2020\right)\left(2k+2012\right)=4\left(k+1010\right)\left(k+1006\right)⋮4\)

Câu hỏi của Đoàn Minh Vũ - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

4 và 6