Đặt \(A=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{90}\)

         \(=\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{45}\right)+\left(\frac{1}{46}+\frac{1}{47}+...+\frac{1}{90}\right)\)

Đặt \(B=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{45}\)

 Ta có: \(\frac{1}{31}>\frac{1}{45}\)

           \(\frac{1}{32}>\frac{1}{45}\)

           ....................

          \(\frac{1}{45}=\frac{1}{45}\)

\(\Rightarrow B>\frac{1}{45}.15\)

\(\Rightarrow B>\frac{1}{3}\)

Đặt \(C=\frac{1}{46}+\frac{1}{47}+...+\frac{1}{90}\)

Ta có: \(\frac{1}{46}>\frac{1}{90}\)

           \(\frac{1}{47}>\frac{1}{90}\)

          .....................

         \(\frac{1}{90}=\frac{1}{90}\)

\(\Rightarrow C>\frac{1}{90}.45\)

\(\Rightarrow C>\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow B+C>\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\)

Hay \(A>\frac{5}{6}\left(1\right)\)

Lại có: \(A=\left(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{59}\right)+\left(\frac{1}{60}+...+\frac{1}{90}\right)\)

Đặt \(D=\frac{1}{31}+...+\frac{1}{59}\)

Ta có: \(\frac{1}{31}< \frac{1}{30}\)

          . ...................

           \(\frac{1}{59}< \frac{1}{30}\)

\(\Rightarrow D< \frac{1}{30}.60\)

\(\Rightarrow D< \frac{1}{2}\)

Đăt \(E=\frac{1}{60}+...+\frac{1}{90}\)

Ta có: \(\frac{1}{60}=\frac{1}{60}\)

             .................

          \(\frac{1}{90}< \frac{1}{60}\)

\(\Rightarrow E< \frac{1}{60}.31\)

\(\Rightarrow E< \frac{31}{60}< 1\)

\(\Rightarrow E< 1\)

\(\Rightarrow E+D< 1+\frac{1}{2}\)

Hay \(A< \frac{3}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{5}{6}< A< \frac{3}{2}\)

Mình làm hơi ngáo có gì thì cứ nói 

\(B=\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{60}>\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{60}+...+\dfrac{1}{60}=\dfrac{30}{60}=\dfrac{1}{2}\)

\(C=\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+...+\dfrac{1}{90}>\dfrac{1}{90}+\dfrac{1}{90}+...+\dfrac{1}{90}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}\)

Do đó: \(B+C>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\)(đpcm)

A = 1/31 + 1/32 + 1/33 + ... + 1/89 + 1/90 ..... 5/6

A = 5/6 = 1/2 + 1/3

Ta đặt : B = 1/31 + 1/32 + 1/33 + ... + 1/60 ( 30 phân số )

            C = 1/61 + 1/62 + 1/63 + .... + 1/90 ( 30 phân số )

Ta có : B = 1/31 + 1/32 + 1/33 + ... + 1/60 > 1/60 + 1/60 + 1/60 + ... + 1/60 = 30 x 1/60 = 1/2

           C = 1/61 + 1/62 + 1/63 + ... + 190 > 1/90 + 1/90 + 1/90 + .... + 1/90 = 30 x 1/90 = 1/3

Vì A = B + C > 1/2 + 1/3 = 5/6 nên 1/31 + 1/32 + 1/33 + .. + 1/89 + 1/90 > 5/6

A=1/31+1/32+....+1/89+1/90>5/6 -vì dãy tổng A gồm 60 phân số mà phân số 1/60 nằm ở giữa (số tt 30) 
xét :1/59+1/61>2/60 (1/59+1/61=(59+61)/59*61=120/(60^2-1)>12... 
tương tự:1/58+1/62>2/60 
:1/57+1/63 >2/60 cứ như vậy có tới 29 cặp lẻ 1/90 và số 1/60 mà ta dùng so sánh 
do đó khi cộng vào ta được A.>59/60>50/60=5/6 đpcm

sorry ! mk bó tay !

\(Q=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{90}=\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+....+\frac{1}{90}\right)\)

\(Q>\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{90}+\frac{1}{90}+....+\frac{1}{90}\right)\)

\(=\frac{1}{60}.30+\frac{1}{90}.30=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\)

Vậy Q > 5/6

Ta có: A= \(\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{90}\)

\(A=\left(\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{60}\right)+\left(\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+...+\dfrac{1}{90}\right)\)

A= B+C

Ta có: \(B=\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{60}>\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{60}+...+\dfrac{1}{60}\)

\(B=\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{60}>30.\dfrac{1}{60}=\dfrac{1}{2}\) (1)

Lại có: \(C=\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+...+\dfrac{1}{90}>\dfrac{1}{90}+\dfrac{1}{90}+...+\dfrac{1}{90}\)

\(C=\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+...+\dfrac{1}{90}>30.\dfrac{1}{90}=\dfrac{1}{3}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(A>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\)

Vậy \(A>\dfrac{5}{6}\)

sai đề