C/M chia hết cho 3 và 8

\(\left(n^2+3n+1\right)-1=\left(n^2+3n+1-1\right)\left(n^2+3n+1+1\right)\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Bn chứng minh biểu thức trên chia hết cho 3 và 2 nhé!

Sau đó lí luận là (3,2) = 1 và 3.2³=24 nên biểu thức chia hết cho 24  

P/s:  ( Nếu có sai sót mong thông cảm =))

a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có :  k³ + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).

Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng: 

(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2

                           = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)

Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên) 

             + 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3 

Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.

b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13^k -1 ⋮ 6

Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng: 

=> 13^k.13 - 1 = 13(13^k - 1) + 12.

Có: - 13(13^k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)

       - 12⋮6 ( hiển nhiên)

> Vậy mệnh đề luôn đúng.

chỗ mk ghi chia hết và không chia hết, pn ghi kí hiệu nhé, cùng chia hết thì ghi chữ; pn dùng ngoặc nhọn chỗ do đó và mà nhé.

a) A= n² + 3n + 18

= n² + 5n - 2n - 10 + 28

= n(n + 5) - 2(n + 5) + 28

= (n + 5)(n - 2) + 28

Xét (n + 5) và (n - 2)

(n + 5) - (n - 2) = 7 chia hết cho 7

=> (n + 5), (n - 2) cùng chia hết cho 11

Do đó: (n + 5).(n - 2) chia hết cho 7.7= 49

Mà: 28 chia hết cho 7

=> (n + 5)(n - 2) + 28 không chia hết cho 49

b) B = n² + 3n - 6

= n² + 7n - 4n - 28 + 22

= n(n + 7) - 4(n + 7) + 22

= (n + 7)(n - 4) + 22

Xét (n + 7) và (n - 4)

(n + 7) - (n - 4)= 11 chia hết cho 11

=> (n + 7) và (n - 4) cùng chia hết cho 11

Do đó: (n + 7).(n - 4) chia hết cho 11.11 = 121

Mà: 22 không chia hết hết cho 121

=> (n + 7)(n - 4) + 22 không chia hết cho 121

chỗ câu a là cùng chia hết cho 7 nhé, mk ghi lộn, xin lỗi

câu a là chia hết nhé, pn sửa kết luận lại giùm mk, xin lỗi

Ta có: n^3+3.n^2-n-3=n^2.(n+3) -(n+3)=(n+3).(n-1).(n+1).
-Do n là số lẻ nên đặt n=2k+1.(k thuộc N).
=> n^3+3.n^2-n-3= (2k+4).2k.(2k+2)= 8.k.(k+1).(k+2).
-Do k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên k(k+1) chia hết cho 2 và k(k+1)(k+2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên k(k+1)(k+2) chia hết cho 3.
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 16 và chia hết cho 3. Mà (16,3)=1.
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 16.3.
=> n^3+3.n^2-n-3 chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ (đpcm).                                                                                                 Bạn phân tích n^12-n^8-n^4+1. =(n-1)^2.(n+1)^2.(n^2+1)^2. (n^4+1).
-Do n lẻ nên trong n-1 và n+1 phải có một số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2; n^2+1 chia hết cho 2; n^4+1 chia hết cho 2.
=> (n-1)^2. (n+1)^2 chia hết cho 4^2.4; (n^2+1)^2 chia hết cho 4; n^4+1 chia hết cho 2.
=> (n-1)^2.(n+1)^2.(n^2+1)^2. (n^4+1) chia hết cho 4^2.4.4.2= 512.
Vậy đpcm. 

\(A=n^3+3n^2+5n+3\)

\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n+3\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)+3\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\)

Do n ; n + 1 ; n + 2 là 3 số nguyên dương liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

\(\Rightarrow...+3\left(n+1\right)⋮3\)

hay \(A⋮3\left(đpcm\right)\)

\(A=n^3+3n^2+6n-\left(n+3\right)+6\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)+6n+6\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)+6\left(n+1\right)\)

Có: \(n+3\equiv n\)(mod 3)

mà \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\forall n\in Z^+\)

nên \(A⋮3\forall n\in Z^+\)

nhanh lên giùm

câu này khó quá

B nguyên tố khác 3 nên b=3k+1 hoặc b=3k+2

B=3k+1 thì A =3n+6027k+2010 chia hét cho 3

B=3k+2 thì A=

=.=