\(A=n\left(2n+7\right)\left(7n+7\right)\)

\(=7n\left(n+1\right)\left(2n+4+3\right)\)

\(=14n\left(n+1\right)2\left(n+2\right)+3.7\left(n+1\right)n\)

Ta có :

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Leftrightarrow A⋮6\rightarrowđpcm\)

A = n(2n+7) ( 7n+7)

= 7n ( n+1) (2n+4+3)

= 14n (n+1) 2(n+2) + 3.7(n+1)n

Ta có : n(n+1) (n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

=> n (n+1) (n+2) chia hết cho 6

=> A chia hết cho 6 (đpcm)

Đặt \(A=n(n+1)(2n+1)\)

Nếu $n$ chẵn thì $A$ chẵn \(\Rightarrow A\vdots 2\)

Nếu $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn, do đó $A$ chẵn \(\Rightarrow A\vdots 2\)

Vậy $A$ luôn chia hết cho $2$ $(I)$

Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $A$ chia hết cho $3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $2n+1$ chia hết cho $3$ nên $A$ chia hết cho $3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1$ chia hết cho $3$ nên $A$ chia hết cho $3$

Vậy $A$ luôn chia hết cho $3$ $(II)$

Từ $(I),(II)$ kết hợp với $(2,3)=1$ suy ra \(A\vdots (2.3=6)\) (đpcm)

Nguyễn Huy TúAkai Haruma

6 nha

khai triển ra, ta dc:
25^n+5^n-18^n-12^n (1)
=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)
=(25-18)K-(12-5)H = 7(K-H) chia hết cho 7
.giải thích: 25^n-18^n=(25-18)[25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n]=7K vì đặt K là [25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n, cái (12-5)H cx tương tự

Biểu thức đó đã chia hết cho 7 rồi, bây h cần chứng minh biểu thức đó chia hết cho 13 là xong
từ (1) nhóm ngược lại để chia hết cho 13. Cụ thể là (25^n-12^n)-(18^n-5^n) chia hết cho 13, cách chứng minh chia hết cho 13 này cx tương tự như cách c.minh chia hết cho 7

.1Mà biểu thức này vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13 nên chia hết cho (7.13)=91

Xong!!!

cái này dễ hiểu hơn

5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) chia hết cho 91
A = 5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) = + 5^n – 18^n – 12^n
= 25^n – 18^n – (12^n – 5^n)
Ta có: 25 – 18 chia hết cho 7
Nên 25 đồng dư với 18 khi chia cho 7
Hay 25^n đồng dư với 18^n khi chia cho 7
Suy ra 25^n – 18^n chia hết cho 7
Chứng minh tương tự thì 12^n – 5^n chia hết cho 7
Nên A chia hết cho 7
Mặt khác A = 25^n – 12^n – (18^n – 5^n)
với 25^n – 12^n và 18^n – 5^n đều chia hết cho 13
Suy ra A chia hết cho 13
Vậy A chia hết cho 7.13 = 91

Thực hiện phép chia, ta được:Thương của A chia cho B là n3 – 6n2 + 11n – 6Ta có: 3 2 3 226 11 6 12 6 6( 1) .( 1) 6.(2 1)n n n n n n nn n n n n− + − = − + − −= − + + − −Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6Mặt khác 6(2n-n2-1) chia hết cho 6=> Th¬ng cña phÐp chia A cho B lµ béi sè cña 6

 

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 . Mà (2,3) = 1 nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 6.

Từ đó có đpcm

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

=>đpcm

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Có: \(n;n+1;n+2\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 6.

Mà: \(\text{Ư}CLN\left(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right)=1\) nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\) (đpcm)

\(A_n=n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)\)

\(=\left(n^3+n\right)\left(n^2+4\right)\)

\(=n^5+4n+5n^3\)

\(=n^5-n+5n+5n^3\)

Vì \(n^5\) co dạng \(n^{4k+1}\) (k thuộc N) nên \(n^5\) luôn có chữ số tận cùng giống n

\(\Rightarrow n^5-n=\overline{.....0}⋮5\)

Do đó \(n^5-n+5n+5n^3⋮5\) hay \(A_n⋮5\) (đpcm)

tham khảo tại đây nha! LG đúng đó:

 https://olm.vn/hoi-dap/question/271796.html