Tóm tắt:

D = 4 m; vật cản có d = 60cm. SO = 2 m.

a) Tìm d_tối

b) Giữa vật cản có lỗ d_lỗ = 10 cm thì S_tối = ?

Bài giải:

a) Ta có hình vẽ:

Vì vật sáng đặt giữa hai bức tường nên SO = 2m. Bán kính của vùng tối là A’I.

Ta có tam giác ∆ SAO ~ ∆ SA’I nên ta có:

S O S I = A O A ' I ⇒ A ' I = A O . S I S O = 30. 4 2 = 60 c m  

Vậy đường kính vùng tối là d_tối = 2.A’I = 2.60 = 120 cm.

b)

Khi trên tấm bìa có 1 lỗ tròn đường kính 10 cm, tức là bán kính lỗ tròn CO = 5 cm.

Ta có tam giác ∆ SCO ~ ∆ SC’I. Vậy ta có:

S O S I = C O C ' O ⇒ C ' O = C O . S I S O = 5. 4 2 = 10 c m  

Vậy bóng tối trên tường là 1 hình tròn bán kính R = 30 cm và có 1 hình tròn sáng đồng tâm có bán kính r = 10cm.

Diện tích vùng bóng tối trên màn là S = π.R² – π.r² = π.(30² - 10²) = 2512 cm².

Đáp án B.

Phương pháp giải: Gắn hệ tọa độ Oxyz, tìm bán kính quả bóng chính là bán kính của mặt cầu

Lời giải: Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi I(a;a;a) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và R = a

=> phương trình mặt cầu của quả bóng là 

Giả sử M(x;y;z) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho d(M;(Oxy)) = 1; d(M;(Oyz)) = 2; d(M;(Oxz)) = 3

Khi đó z = 1; x = 2; y = 3 => M(2;3;1) ∈ (S) (2).

Từ (1),(2) suy ra 

=>

Chọn đáp án B

Hai bức tường và nền nhà mà quả bóng tiếp xúc tạo thành một hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Mỗi quả bóng coi như một mặt cầu có tâm  I a ; b ; c

Vì mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà nên chúng tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ  O x y , O y z v à O x z

Tức là

Suy ra  I a ; a ; a

Gọi M x ;   y ;   z  là điểm nằm trên quả bóng có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1, 2, 4

Suy ra M 1 ;   2 ;   4

Điểm M nằm trên quả bóng khi

Phương trình (*)  có ∆ ' = 7 > 0  nên có hai nghiệm a 1 , a 2  và a 1 + a 2 = 7  (theo định lý Vi-ét). Khi đó tổng đường kính của hai quả bóng là

2 a 1 + a 2 = 14

Đáp án B

Bán kính vùng tối là:

20 . 2 = 40 (cm)