\(\left|ab+cd\right|\le\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\Leftrightarrow\left|ab+cd\right|^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta suy ra:

 Dấu "=" xảy ra <=> ad=bc

(1 - \(\frac{1}{2}\) ) ( 1 - \(\frac{1}{3}\) )...( 1 - \(\frac{1}{2015}\) )

= \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{2}{3}\).....\(\frac{2014}{2015}\)

= \(\frac{1.2.....2014}{2.3.....2015}\) = \(\frac{1}{2015}\) <1

dấu "=" xảy ra khi a=b nha

Trả lời:

Dấu bằng xảy ra khi a=b

Học tốt

a²(1+b²) + b²(1+c²) + c²(1+a²) = a² + a²b² + b² + b²c² + c² + a²c²

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số không âm a², a²b², b², b²c², c², a²c² ta được:

a² + a²b² + b² + b²c² + c² + a²c² >= 6\(\sqrt{a^6b^6c^6}\)= 6abc

=> a²(1+b²) + b²(1+c²) + c²(1+a²) >= 6abc

Dấu = xảy ra khi

a²=a²b²=b²=b²c²=c²=a²c² 

a=b=c=+-1

khi a, b cùng dương hoặc âm

dấu '='  xảy ra khi a=b

Khi VT>=0 , nghĩ vậy

Câu a)

Em mới hc lớp 7 nên chỉ chứng minh cái phần dấu bằng xảy ra khi nào thui. Ko biết có đúng ko

Theo đề bài Ta có

\(\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)^2=\left(c^2+d^2\right)^2\)

Suy ra \(ac=a^2,bd=b^2,ac=b^2\)

Suy ra \(a=b=c=d\)

Vậy dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d\)

ukm nhưng anh cần câu b

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)