\(AM=\frac{BC}{2}\Rightarrow AM=BM=CM\)

=> tg ABM cân tại M \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\)

Và tg ACM cân tại M \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{CAM}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=\widehat{BAC}\)

Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o-\widehat{BAC}=\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{BAC}=90^o\)

=> tg ABC vuông tại A

∆ABC có M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
Ta có:
ےAMB = ےNMC (đối đỉnh)
BM = CM (giả thiết)
MA = MN (dựng hình)
Suy ra: ∆MAB = ∆MNC (c.g.c)
Suy ra: NC = AB và ےMBA = ےMCN
Do ےMBA = ےMCN nên AB // NC
Suy ra ےBAC + ےACN = 180
Ta có: ےBAC = 90 nên ےACN = 90
=> ∆ABC = ∆CNA (c.g.c) vì AC là cạnh chung
AB = NC (cmt) và ےBAC = ےACN = 90
=> AN = BC
=> AM = \(\frac{1}{2}BC\)

=>CMT

Ta có: tam giác ABC vuông tại A,M là trung điểm của BC (gt) => AM là đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC

=>AM = 1/2 BC ( trong tam giác vuông, đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền )

Vậy....

vẽ thêm MD song song AH

MH song song AD

Xét tam giác MDA và tam giác AHM có

Góc A1 = góc M2 (so le trong)

Góc A2 = góc M1 ( so le trong)

AM là cạnh chung

\(\Rightarrow\)Tam giác MDA = tam giác AHM (g.c.g)

\(\Rightarrow\)MD = AH (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác MBD và tam giác CMH có

Góc BMD = góc MCH (đồng vị)

Góc D1 = góc H2 (=90)

BM = MC (giả thiết)

\(\Rightarrow\)Tam giác MBD = tam giác CMH (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\)BD = MH ( 2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác BDM và tam giác MHA có

MD = AH ( cmt)

Góc D2 = góc H1 (=90)

BD = MH (cmt)

\(\Rightarrow\)tam giác MBD = tam giác MAH ( c.g.c)

\(\Rightarrow\)BM = AM (2 cạnh tương ứng)

Vì BM = MC và AM = BM

\(\Rightarrow\)AM = MC

Mà BC = BM + MC

\(\Rightarrow\)BC = 2*AM

\(\Rightarrow\)AM = \(\frac{1}{2}\cdot BC\)

Vậy AM = \(\frac{1}{2}\cdot BC\)