ở trên á = )))

Hình tự vẽ

a ) Tam giác ABC cân tại A có đường cao AD => AD cũng là đường p/g 

=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

Do DE \(\perp\)AB => \(\widehat{DEA}=90^o\) => Tam giác AED vuông

Do DF \(\perp\)AC => \(\widehat{DFA}=90^o\) => Tam giác AFD vuông

Xét hai tam giác vuông : \(\Delta AED\)và \(\Delta AFD\)có :

AD là cạnh huyền chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)( cmt )

nên tam giác AED = tam giác AFD ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> AE = AF

Ta có : 

AE + BE = AB

AF + CF = AC

mà AE = AF , AB = AC ( do tam giác ABC cân tại A )

=> BE = CF

b ) Gọi I là giao điểm của EF và AD

Xét \(\Delta AIE\)và \(\Delta AIF\)có :

AE = AF ( cm phần a )

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)( cm phần a )

AI là cạnh chung 

=> \(\Delta AIE=\Delta AIF\)( c.g.c )
=> IE = IF                                                 (1 )

và \(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}\)

Ta có : 

\(\widehat{AIE}+\widehat{AIF}=180^o\)( Hai góc kề bù )

\(\widehat{AIE}+\widehat{AIE}=180^o\)

\(\widehat{AIE}.2=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

=> \(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}=90^o\)                                        ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => AD là đường trung trực của EF

a) Vì ΔABCΔABC cân tại A => Bˆ=CˆB^=C^

mà AD là đường cao

=> AD là đường trung tuyến ΔABCΔABC

=> BD = DC

Xét ΔBEDΔBED và ΔCFDΔCFD có:

BEDˆ=CFDˆ(900)BED^=CFD^(900)

BD = DC (cmt)

Bˆ=Cˆ(cmt)B^=C^(cmt)

Do đó: ΔBED=ΔCFD(ch−gn)ΔBED=ΔCFD(ch−gn)

=> BE = CF (hai cạnh tương ứng)

b) Vì ΔBED=ΔCFD(cmt)ΔBED=ΔCFD(cmt)

=> ED = DF (hai cạnh tương ứng)

=> ΔEDFΔEDF cân tại D

=> D ∈∈ đường trung trực cạnh EF (1)

Xét ΔAEDΔAED và ΔAFDΔAFD có:

AD (chung)

AEDˆ=AFDˆ(=900)AED^=AFD^(=900)

ED = DF (cmt)

Do đó: ΔAED=ΔAFDΔAED=ΔAFD (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

=> AE = AF(hai cạnh tương ứng)

=> ΔAEFΔAEF cân tại A
=> A ∈∈ đường trung trực cạnh EF (2)

(1); (2) => AD là đường trung trực cạnh EF

c) ta có: AD ⊥⊥ BC và AD⊥EFAD⊥EF

=> BC // EF

Gọi giao điểm của FM và DC là H ta có:

Xét ΔBEDΔBED và ΔCMDΔCMD có:

ED = DM (gt)

EDBˆ=CDMˆEDB^=CDM^ (đối đỉnh)

BD = DC (cmt)

Do đó: ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD (c-g-c)

mà ΔBED=ΔCFDΔBED=ΔCFD

=> ΔCMD=ΔCFDΔCMD=ΔCFD

=> CF = CM (hai cạnh tương ứng)

=> ΔFCMΔFCM cân tại C

=> C ∈∈đường trung trực cạnh FM (1)

DE = DF (cmt)

mà DE = DM

=> DF = DM

=> ΔFDMΔFDM cân tại D

=> D ∈∈ đường trung trực cạnh FM (2)

(1); (2) => DC là đường trung trực cạnh FM

=> DH ⊥⊥ FM

mà BC // EF

=> EF ⊥⊥ FH

=> EFMˆ=900EFM^=900 hay ΔEFMΔEFM vuông tại F

d) Vì ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD

=> BEDˆ=CMDˆ=900BED^=CMD^=900(hai góc tương ứng)

=> BE//CM(so le trong)

Δ

1, Do AD là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AD cũng đồng thời là trung tuyến của tam giác ABC

=> BD = DC

Mặt khác:  gBDE = 180độ - gBED - gDBE = 90độ - gBED

gFDC = 180độ - gDFC - gFCD = 90độ - gFCD

Mà: gBED = gFCD(t/g ABC cân tại A) => gBDE = gFDC

Xét t/g EDB và t/g FDC có:

Góc EBD = Góc FCD(t/g ABC cân tại A); BD = DC(chứng minh trên); Góc BDE = Góc FDC(chứng minh trên)

=> t/g EDB = t/g FDC(g-c-g)

=> BE = CF(2 canhm tương ứng)

P/s: 'g' là viết tắt của góc. VD: gBDE là góc BDE

't/g' là viết tắt của tam giác 

b) Hình như câu a) nhưng bạn cần nối thêm E lại với F và gọi giao của AD và EF là O(mình không vẽ lại nữa nha)

Do: t/g ABC cận tại A nên: gABC = gACB = (180độ - gBAC) : 2 ⁽¹⁾ và AB = AC⁽²⁾ 

Mà: Theo câu a) thì BE = CF và từ ⁽²⁾ nên AB - BE = AC - CF hay AE = AF

=> t/g AEF cân tại A  => gAEF = gAFE = (180độ - gBAC) : 2 ⁽³⁾ 

Từ ⁽¹⁾ và ⁽³⁾ ta được: gABC = gAEF   => FE // BC(2 cặp đồng vị bằng nhau)

Mà: AD vuông góc với BC => AD vuông góc với EF (tại O) ^(*1)

Mặt khác: Ad là đường cao của t/g ABC cân tại A nen AD cũng là phân giác gBAC  => gEAO = gFAO

Xét t/g AOE và t/g AOF có: AO chung; gEAO = gFAO(chứng minh trên); AE = AF(c/m trên)

=> t/g AOE = t/g AOF(c-g-c)

=> OE = OF(2 cạnh tương ứng) => O là trung điểm của EF mà O thuộc AD => AD đi qua trung điểm O của EF ^(*2)

Từ ^(*1) và ^(*2) ta được: AD là trung trực của EF

c) Nối E với M

Ta có: Xét t/g EAD và t/g FAD có: AE = AF(theo câu b); gAED = gAFD (= 90độ); AD chung

=> t/g EAD = t/g FAD(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> ED = DF(2 cạnh tương ứng)

=> DF = 1/2 EM (= ED)

Mà: Trong một tam giác, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông nên t/g EFM là t/g vuông tại F

a) Vì ΔABCΔABC cân tại A => Bˆ=CˆB^=C^

mà AD là đường cao

=> AD là đường trung tuyến ΔABCΔABC

=> BD = DC

Xét ΔBEDΔBED và ΔCFDΔCFD có:

BEDˆ=CFDˆ(900)BED^=CFD^(900)

BD = DC (cmt)

Bˆ=Cˆ(cmt)B^=C^(cmt)

Do đó: ΔBED=ΔCFD(ch−gn)ΔBED=ΔCFD(ch−gn)

=> BE = CF (hai cạnh tương ứng)

b) Vì ΔBED=ΔCFD(cmt)ΔBED=ΔCFD(cmt)

=> ED = DF (hai cạnh tương ứng)

=> ΔEDFΔEDF cân tại D

=> D ∈∈ đường trung trực cạnh EF (1)

Xét ΔAEDΔAED và ΔAFDΔAFD có:

AD (chung)

AEDˆ=AFDˆ(=900)AED^=AFD^(=900)

ED = DF (cmt)

Do đó: ΔAED=ΔAFDΔAED=ΔAFD (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

=> AE = AF(hai cạnh tương ứng)

=> ΔAEFΔAEF cân tại A
=> A ∈∈ đường trung trực cạnh EF (2)

(1); (2) => AD là đường trung trực cạnh EF

c) ta có: AD ⊥⊥ BC và AD⊥EFAD⊥EF

=> BC // EF

Gọi giao điểm của FM và DC là H ta có:

Xét ΔBEDΔBED và ΔCMDΔCMD có:

ED = DM (gt)

EDBˆ=CDMˆEDB^=CDM^ (đối đỉnh)

BD = DC (cmt)

Do đó: ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD (c-g-c)

mà ΔBED=ΔCFDΔBED=ΔCFD

=> ΔCMD=ΔCFDΔCMD=ΔCFD

=> CF = CM (hai cạnh tương ứng)

=> ΔFCMΔFCM cân tại C

=> C ∈∈đường trung trực cạnh FM (1)

DE = DF (cmt)

mà DE = DM

=> DF = DM

=> ΔFDMΔFDM cân tại D

=> D ∈∈ đường trung trực cạnh FM (2)

(1); (2) => DC là đường trung trực cạnh FM

=> DH ⊥⊥ FM

mà BC // EF

=> EF ⊥⊥ FH

=> EFMˆ=900EFM^=900 hay ΔEFMΔEFM vuông tại F

d) Vì ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD

=> BEDˆ=CMDˆ=900BED^=CMD^=900(hai góc tương ứng)

=> BE//CM(so le trong)

Vì tam giác ABC cân tại A suy ra AB= AC, góc B= góc C ( T/c tam giác cân)

Xét tam giác AED và tam giác AFD

có góc AED=góc AFD = 90⁰

góc BAD = góc CAD (GT)

AD chung

suy ra tam giác AED = tam giác AFD (cạnh huyền-góc nhọn)

suy ra DE = DF suy ra D thuộc đường trung trục của EF (1)

Mà AB=AC suy ra A thuộc đường TT của EF (2)

từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của EF

b) Xét tam giác  ABD và tam giácACD

có AD chung

góc BAD = góc CAD (GT)

AB=AC (GT)

suy ra tam giác  ABD = tam giác ACD (c.g.c)

suy ra BD = DC (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EDB và tam giác GDC

có BD=DC (CMT)

góc EDB = góc CDG (đối đỉnh)

ED = DG (GT)

suy ra tam giác EDB =  tam giác GDC (c.g.c)

suy ra góc DEB = góc CGD

mà góc DEB = 90⁰

suy ra góc CGD = 90⁰

suy ra tam giác EGC vuông tại G

Vì tam giác ABC cân tại A suy ra AB= AC, góc B= góc C ( T/c tam giác cân)

Xét tam giác AED và tam giác AFD

có góc AED=góc AFD = 90⁰

góc BAD = góc CAD (GT)

AD chung

suy ra tam giác AED = tam giác AFD (cạnh huyền-góc nhọn)

suy ra DE = DF suy ra D thuộc đường trung trục của EF (1)

Mà AB=AC suy ra A thuộc đường TT của EF (2)

từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của EF

b) Xét tam giác  ABD và tam giácACD

có AD chung

góc BAD = góc CAD (GT)

AB=AC (GT)

suy ra tam giác  ABD = tam giác ACD (c.g.c)

suy ra BD = DC (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EDB và tam giác GDC

có BD=DC (CMT)

góc EDB = góc CDG (đối đỉnh)

ED = DG (GT)

suy ra tam giác EDB =  tam giác GDC (c.g.c)

suy ra góc DEB = góc CGD

mà góc DEB = 90⁰

suy ra góc CGD = 90⁰

suy ra tam giác EGC vuông tại G