Trên đoạn AC lấy H sao cho H là trung điểm của đoạn.

Lại có: E là trung điểm của AD nên EH là đường trung bình của tam giác ACD

Do đó CD = 2EH (1)

Gọi I là trung điểm của AM, K là trung điểm của AB

Ta có: EK là đường trung bình của tam giác ADB nên EK //DB

Suy ra góc EKI = 60⁰. Hoàn toàn tương tự: góc FKB = 60⁰

Do đó góc EKF = 60⁰

Tương tự ta có góc HIE = 60⁰

Xét hai tam giác HIE và FKE có:

     HI = FK (cùng bằng 1 nửa AC)

     góc HIE = góc EKE (=60⁰)

     EI = EK (cùng bằng 1 nửa DM)

Suy ra tam giác HIE = tam giác FKE (c.g.c)

Suy ra EF = EH (2)

Từ (1) và (2) suy ra EF = 1/2CD (đpcm)

Cách 1: *cách của Assassin_07*

Cách 2: Ta tạo ra đoạn thẳng bằng nửa CD, đó là PQ (P là trung điểm MC, Q là trung điểm MD). Để chứng minh EF=PQ, ta lấy K là trung điểm AB rồi chứng minh ∆EKF=∆QMP (c.g.c)

Trương Lê Quỳnh Anh, thầy mình cũng giải cách 2 giống của bạn đó!! 😊 😊

  Do ∆ACM và ∆MDB đều => AC = AM = AC và MD = BD = MB. Nối M -> E; E -> F; F -> M 
Xét ∆AMD và ∆CMB có: 
+ AM = CM 
+ góc AMD = góc CMB = 120º (kề bù với 2 góc 60º) 
+ MD = MB 
=> ∆AMD = ∆CMB(c.g.c) => AD = BC => AD/2 = BC/2 => AE = CF và góc DAM = góc BCM 
Xét ∆AEM và ∆CFM có: 
+ AE = CF 
+ góc EAM = góc FCM 
+ AM = CM 
=> ∆AEM = ∆CFM(c.g.c) => EM = MF và góc AME = góc FMC 
=> góc AME + góc EMC = góc FMC + góc EMC 
=> góc MEF = góc AMC = 60º 
Xét ∆EFM có EM = MF và góc MEF = 60º => ∆EFM là tam giác cân có 1 góc = 60º 
=> ∆EFM là tam giác đều. 

B2) Lấy D ∈ AE sao cho AD = AC => DE = AB và ∆DAC đều 
Xét ∆ABC và ∆DEC có: 
+ AB = DE 
+ góc BAC = góc EDC = 120º (bạn tự chứng minh) 
+ AD = DC 
=> ∆ABC = ∆DEC(c.g.c) => BC = EC và góc ACB = góc DCE 
=> góc ACB + góc BCD = góc DCE + góc BCD 
=> góc ECB = góc ACD = 60º 
Xét ∆BEC có BC = EC và góc ECB = 60º => ∆BEC là tam giác cân có 1 góc = 60º 
=> ∆BEC là tam giác đều. 

B3) Do ∆ABC vuông cân tại A, có trung tuyên AM => AM cũng là phân giác, trung tuyến, đường cao,... 
=> BM = CM ;góc BAM = góc CAM = 45º => AM = MC(∆AMC vuông cân tại M) 
Xét ∆HAB và ∆KCA có: 
+ góc BHA = góc CKA = 90º 
+ AB = AC 
+ góc BAH = góc ACK (= 90º - góc CAK - bạn tự chứng minh) 
=> ∆HAB = ∆KCA(g.c.g) => AH = CK 
Ta có: góc HAB = góc ACK => góc HAB + góc BAM = góc ACK + góc MCA (do góc MAB = góc MCA = 45º) => góc MAH = góc MCK 
Xét ∆HAM và ∆KCM có 
+ AH = CK 
+ góc MAH = góc MCK 
+ AM = MC 
=> ∆HAM = ∆KCM (c.g.c) => HM = MK(1) và góc HMA = góc CMK 
=> góc HMA + góc AMK = góc CMK + góc AMK 
=> góc HMK = góc AMC = 90º (2) 
từ (1) và (2) => ∆HMK vuông cân tại M 

  Do ∆ACM và ∆MDB đều => AC = AM = AC và MD = BD = MB. Nối M -> E; E -> F; F -> M 
Xét ∆AMD và ∆CMB có: 
+ AM = CM 
+ góc AMD = góc CMB = 120º (kề bù với 2 góc 60º) 
+ MD = MB 
=> ∆AMD = ∆CMB(c.g.c) => AD = BC => AD/2 = BC/2 => AE = CF và góc DAM = góc BCM 
Xét ∆AEM và ∆CFM có: 
+ AE = CF 
+ góc EAM = góc FCM 
+ AM = CM 
=> ∆AEM = ∆CFM(c.g.c) => EM = MF và góc AME = góc FMC 
=> góc AME + góc EMC = góc FMC + góc EMC 
=> góc MEF = góc AMC = 60º 
Xét ∆EFM có EM = MF và góc MEF = 60º => ∆EFM là tam giác cân có 1 góc = 60º 
=> ∆EFM là tam giác đều. 

B2) Lấy D ∈ AE sao cho AD = AC => DE = AB và ∆DAC đều 
Xét ∆ABC và ∆DEC có: 
+ AB = DE 
+ góc BAC = góc EDC = 120º (bạn tự chứng minh) 
+ AD = DC 
=> ∆ABC = ∆DEC(c.g.c) => BC = EC và góc ACB = góc DCE 
=> góc ACB + góc BCD = góc DCE + góc BCD 
=> góc ECB = góc ACD = 60º 
Xét ∆BEC có BC = EC và góc ECB = 60º => ∆BEC là tam giác cân có 1 góc = 60º 
=> ∆BEC là tam giác đều. 

B3) Do ∆ABC vuông cân tại A, có trung tuyên AM => AM cũng là phân giác, trung tuyến, đường cao,... 
=> BM = CM ;góc BAM = góc CAM = 45º => AM = MC(∆AMC vuông cân tại M) 
Xét ∆HAB và ∆KCA có: 
+ góc BHA = góc CKA = 90º 
+ AB = AC 
+ góc BAH = góc ACK (= 90º - góc CAK - bạn tự chứng minh) 
=> ∆HAB = ∆KCA(g.c.g) => AH = CK 
Ta có: góc HAB = góc ACK => góc HAB + góc BAM = góc ACK + góc MCA (do góc MAB = góc MCA = 45º) => góc MAH = góc MCK 
Xét ∆HAM và ∆KCM có 
+ AH = CK 
+ góc MAH = góc MCK 
+ AM = MC 
=> ∆HAM = ∆KCM (c.g.c) => HM = MK(1) và góc HMA = góc CMK 
=> góc HMA + góc AMK = góc CMK + góc AMK 
=> góc HMK = góc AMC = 90º (2) 
từ (1) và (2) => ∆HMK vuông cân tại M 

nguyễn minh tâm à mik k bik bạn làm đúng hay sai nhưng mik sẽ tik cho bạn

vì trên olm có rất ít người làm chi tiết như bạn nhưng thậm chí k đc tik bằng các bạn chỉ ghi kết quả

mik hầu như cũng toàn ghi đáp án thôi nhưng mà mình muốn những người như thế sẽ đc tik ít hơn người chăm chỉ ngồi đánh máy dài dằng dặc cho chúng mik như bạn. thanks bạn nhìu

vẽ hình đi 

1. Chứng minh: Tứ giác EFIK là hình thang cân:

Gọi P là trung điểm của AM và S là trung điểm của BM.

Xét \(\Delta\)ACM: E là trung điểm CM, P là trung điểm AM => EP là đường trung bình \(\Delta\)ACM

=> EP//AC (*)

Ta có: ^DMB=^CAM=60⁰. Mà 2 góc này đồng vị => DM//AC (1)

Xét \(\Delta\)ADM: K là trung điểm AD, P là trung điểm AM

=> PK là đường trung bình \(\Delta\)ADM => PK//DM (2)

Từ (1) và (2) => PK//AC (**)

Từ (*) và (**) => 3 điểm E,K,P thẳng hàng

Tương tự: FS là đường trung bình \(\Delta\)CMB => FS//CM.

Mà CM//BD (Đồng vị) => FS//BD. Lại có: IS//BD => 3 điểm F,I,S thẳng hàng.

Xét  \(\Delta\)CMB: E là trung điểm CM, F là trung điểm BC

=> EF là đường trung bình của \(\Delta\)CMB => EF/MB => EF//AB (3)

Xét \(\Delta\)AMD: K là trung điểm AD, I là trung điểm DM

=> IK là đường trung bình \(\Delta\)AMD => IK//AM => IK//AB (4)

Từ (3) và (4) => EF//IK (5)

Do E,K,P thẳng hàng => ^EKI và ^EPS là 2 góc đồng vị. Mà IK//AB (KI//PS)

=> ^EKI=^EPS (6)

Tương tự F,I,S thẳng hàng; IK//PS => ^FIK=^FSP (Đồng vị) (7)

Ta thấy: EP//AC => ^EPS=^CAM=60⁰;  FS//BD => ^FSP=^DBM=60⁰

=> ^EPS=^FSP=60⁰ (8)

Từ (6); (7) và (8) => ^EKI=^FIK=60⁰ (9)

Từ (5) và (9) => Tứ giác EFIK là hình thang cân (đpcm)

2. Chứng minh KF=1/2CD:

Gọi N là trung điểm AB, Q là trung điểm AC.

Xét \(\Delta\)ADB: K là trung điểm AD, N là trung điểm AB

=> KN là đường trung bình của \(\Delta\)ADB => KN//BD và KN=1/2BD => KN=1/2DM (10)

PK là đường trung bình \(\Delta\)AMD (cmt) => PK=1/2DM (11)

Từ (10) và (11) => KN=PK

Xét \(\Delta\)ACM: Q là trung điểm AC, P là trung điểm AM

=> PQ là đường trung bình \(\Delta\)ACM => PQ//CM ;PQ=1/2CM (12)

NF là đường trung bình \(\Delta\)ABC => NF=1/2AC => NF=1/2CM (13)

Từ (12) và (13) => PQ=NF

Lại có: ^KPQ=^KNF=60⁰ (Tự tính)

Xét \(\Delta\)QKP và \(\Delta\)FKN có:

KP=KN (cmt)

^KPQ=^KNF       => \(\Delta\)QKP=\(\Delta\)FKN (c.g.c)

PQ=NF (cmt)

=> KQ=KF (2 canh tương ứng) (14)

Xét \(\Delta\)CAD: Q là trung điểm AC, K là trung điểm AD

=> KQ là đường trung bình \(\Delta\)CAD => KQ=1/2CD (15)

Từ (14) và (15) => KF=1/2CD (đpcm).