Bài 7 (3 điểm). Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (0) (A, B là 2 tiếp điểm). OM cắt AB tại H. Vẽ đường kính BC của đường tròn (O).
a) Chứng minh OM 1 AB và AC // MO.
b) Chứng minh OH. OM = R2 và OCH = OMC
Bài 6: (2,5 điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). Đoạn AC cắt đường tròn (O) tại điểm D (khác C). a) Chứng minh tam giác BDC vuông và . AC = A * B ^ 2 = A * O ^ 2 - R ^ 2 b) Qua B kẻ đường thẳng d vuông góc với AO tại H. Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại E (khác B). Gọi F là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh tứ giác CEHF là hình chữ nhật và AE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) c) Tia CH cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh HA .HO=HG.HC. Suy ra góc GAB bằng góc EAD
a:
Sửa đề: \(AD\cdot AC=AB^2=AO^2-R^2\)
Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
=>BD\(\perp\)DC tại D
=>BD\(\perp\)CA tại D
Xét ΔBCA vuông tại B có BD là đường cao
nên \(AD\cdot AC=AB^2\left(1\right)\)
Xét ΔOBA vuông tại B có \(OB^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2+R^2=OA^2\)
=>\(BA^2=OA^2-R^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AC=AB^2=OA^2-R^2\)
b: ΔOBE cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của BE
Xét ΔBCE có
O,H lần lượt là trung điểm của BC,BE
=>OH là đường trung bình của ΔBCE
=>OH//CE và OH=1/2CE
OH//CE
F\(\in\)OH
Do đó: HF//CE
\(OH=\dfrac{1}{2}CE\)
\(OH=\dfrac{1}{2}FH\)
Do đó: CE=FH
Xét tứ giác CEHF có
CE//HF
CE=HF
Do đó: CEHF là hình bình hành
Hình bình hành CEHF có \(\widehat{FHE}=90^0\)
nên CEHF là hình chữ nhật
ΔOBE cân tại O
mà OH là đường cao
nên OH là phân giác của góc BOE
Xét ΔOBA và ΔOEA có
OB=OE
\(\widehat{BOA}=\widehat{EOA}\)
OA chung
Do đó: ΔOBA=ΔOEA
=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OEA}=90^0\)
=>AE là tiếp tuyến của (O)
c: Xét (O) có
ΔBGC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBGC vuông tại G
=>GB\(\perp\)GC tại G
Xét ΔHEC vuông tại E và ΔHGB vuông tại G có
\(\widehat{EHC}=\widehat{GHB}\)
Do đó: ΔHEC đồng dạng với ΔHGB
=>\(\dfrac{HE}{HG}=\dfrac{HC}{HB}\)
=>\(HE\cdot HB=HG\cdot HC\)
=>\(HG\cdot HC=HB^2\left(3\right)\)
Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(HO\cdot HA=HB^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(HG\cdot HC=HO\cdot HA\)
Bài 9 . Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Kẻ cát tuyến ADE với đường tròn (O) (D nằm giữa A và E).
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của AO với BC. Chứng minh: OAvuông góc BC và
OD2 = OH.OA. Từ đó suy ra tam giác OHD đồng dạng với tam giác ODA.
a: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
=>ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
mà OB=OD(=R)
nên \(OH\cdot OA=OD^2\)
=>\(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OA}\)
Xét ΔOHD và ΔODA có
\(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OA}\)
\(\widehat{HOD}\) chung
Do đó: ΔOHD đồng dạng với ΔODA
cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đếna và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) , (A,B là 2 tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB với OH.CMR D là điểm cố định
Trả lời :
Bn Nguyễn Tũn bảo dễ ẹt thì làm đi.
- Hok tốt !
^_^
dễ ẹc thì lm cho mk coi đi
mk ko bt lm
BÀI 1 : Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm OO' cắt (O) ở B, cắt (O') ở C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D thuộc (O), E thuộc (O')). Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh :
a) góc MDE vuông
b) MA là tiếp tuyến chung của (O) và (O')
c) MD . MB = ME . MC
Bài 1: Cho 2 đường tròn (O) và (O') cát nhau tại hai điểm A, B.Dây AC của đường tròn (O) vuông góc với AO'; dây AD của đường tròn (O') vuông góc với AO so sánh góc AOC và góc AO'D
Bài 2:Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm ). Cho biết góc AMB = 40 độ'
a) Tính góc AOB .
b)Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N. Chứng minh tam giác OMN là tam giac cân.
GMHCjgf,ghj,,g,gjmghfmjfg
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MNP tới
đường tròn (O); gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh rằng: 5 điểm M, A, O, K, B cùng thuộc
1 đường tròn
Lời giải:
Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $O$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$
$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$
Xét tứ giác $MAOB$ có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$. Mà 2 góc này đối nhau nên $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow M, A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)
Mặt khác:
Tam giác $ONP$ cân tại $O$ (do $ON=OP=R$) nên trung tuyến $OK$ đồng thời là đường cao.
$\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0$
Xét tứ giác $MAKO$ có $\widehat{MAO}=\widehat{MKO}=90^0$. Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $MO$ nên $MAKO$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow M,A,K,O$ cùng thuộc 1 đường tròn (2)
Từ $(1); (2)\Rightarrow M, A, O, K,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MNP tới
đường tròn (O); gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh rằng: 5 điểm M, A, O, K, B cùng thuộc
1 đường tròn
Lời giải:
Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $O$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$
$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$
Xét tứ giác $MAOB$ có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$. Mà 2 góc này đối nhau nên $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow M, A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)
Mặt khác:
Tam giác $ONP$ cân tại $O$ (do $ON=OP=R$) nên trung tuyến $OK$ đồng thời là đường cao.
$\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0$
Xét tứ giác $MAKO$ có $\widehat{MAO}=\widehat{MKO}=90^0$. Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $MO$ nên $MAKO$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow M,A,K,O$ cùng thuộc 1 đường tròn (2)
Từ $(1); (2)\Rightarrow M, A, O, K,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.
Bài 4 (3 điểm). Cho đường tròn (O;R) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C). 1. Biết R = 3 cm, AB = 8 cm, tính độ dài các đoạn thẳng: AO, AC, BD. 2. Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh H là trung điểm BE và AE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tia OA cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh FA . CH=HF . CA
1: \(AO=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}\left(cm\right)\)
BC=2*R=6cm
\(CA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)\)
BD=6*8/10=4,8cm
2: Xét ΔBCE có
O là trung điểm của BC
OH//CE
=>H là trung điểm của BE
ΔOBE cân tại O
mà OH là trung tuyến
nên OH là phân giác của góc BOE
Xét ΔOBA và ΔOEA có
OB=OE
góc BOA=góc EOA
OA chung
=>ΔOBA=ΔOEA
=>góc OEA=90 độ
=>AE là tiếp tuyến của (O)
Bài 8. (3,0 điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là hai tiếp điểm) và cát tuyến ADE (AD < AE). a) Chứng minh: OA BC và tứ giác ABOC nội tiếp. b) Đường thẳng đi qua điểm C, song song với DE và cắt đường tròn (O) tại F (F khác C). Gọi I là giao điểm của BF và DE. Chứng minh: I là trung điểm của DE. c) Chứng minh rằng: BE.EF + BD.DF = BC.DE.
a: góc OBA+góc OCA=180 độ
=>ABOC nội tiếp
Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
=>AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc BC
b: DE//CF
=>sđ cung CD+sđ cung EF
góc AIB=1/2(sđ cung BD+sđ cung EF)
ABOC nội tiếp
=>góc AOB=góc ACB=1/2*sđ cung BC
=1/2(sđ cung EF+sđ cung EB)
=>góc AIB=góc AOB
=>AOIB nội tiếp
=>góc OIA=90 độ
ΔODE cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của DE
