Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng \(AC\perp B'D',AB'\perp CD',AD'\perp CB'\). Khi nào mặt phẳng (AA'C'C) vuông góc với mặt phẳng (BB'D'D) ?
Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC ⊥ B'D', AB' ⊥ CD' và AD' ⊥ CB'. Khi mặt phẳng (AA'C'C) vuông góc với mặt phẳng (BB'D'D)?
Theo giả thiết các mặt của hình hộp đều là hình thoi.
Ta có ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD
Theo tính chất của hình hộp: BD // B'D', do đó AC ⊥ B'D'.
Chứng minh tương tự ta được AB' ⊥ CD', AD' ⊥ CB'
Hai mặt phẳng (AA'C'C) và (BB'D'D) vuông góc với nhau khi hình hộp ABCD.A'B'C'D'là hình lập phương.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng \(AC\perp B'D'\) ?
Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB = CD, AC = BD, AD = BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh \(MN\perp AB\) và \(MN\perp CD\). Mặt phẳng (CD) có vuông góc với mặt phẳng (ABN) không ? Vì sao ?
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng AC ⊥ B'D'
Từ giả thiết suy ra tứ giác ABCD là hình thoi, do đó AC ⊥ BD
Dễ thấy mặt chéo BDD'B' của hình hộp đã cho là hình bình hành, do đó BD // B′D′. Từ đó, theo bài 3.12 suy ra AC ⊥ B'D'.
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Chứng minh rằng:
a) Bốn mặt bên và mặt đáy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành;
b) Các mặt \(AA'C'C\) và \(BB'D'D\)là hình bình hành
c) Bốn đoạn thẳng \(A'C,AC',B'D,BD\) có cùng trung điểm.
a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ nên có:
‒ Hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\) bằng nhau và là hình bình hành.
‒ Các mặt bên \(AA'B'B,AA'D'D,BB'C'C,CC'D'D\) là các hình bình hành.
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = AC\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow AC\parallel A'C'\)
Mà \(AA'\) và \(CC'\) là các cạnh bên của hình lăng trụ nên \(AA'\parallel CC'\)
Vậy \(AA'C'C\) là hình bình hành.
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = B{\rm{D}}\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D'\end{array} \right\} \Rightarrow B{\rm{D}}\parallel B'D'\)
Mà \(BB'\) và \(DD'\) là các cạnh bên của hình lăng trụ nên \(BB'\parallel DD'\)
Vậy \(BB'D'D\) là hình bình hành.
c) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'B'\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}}\parallel A'B'\left( 1 \right)\)
\(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành nên \(AB = CD\)
\(AA'B'B\) là hình bình hành nên \(AB = A'B'\)
Vậy \(A'B' = CD\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(A'B'C{\rm{D}}\) là hình bình hành
\( \Rightarrow A'C,B'D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta có:
+ \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(AC',B{\rm{D}}'\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
+ \(A'BCD'\) là hình bình hành nên \(A'C,B{\rm{D}}'\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Do đó bốn đoạn thẳng \(A'C,AC',B'D,BD\) có cùng trung điểm.
Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng \(CD\perp CA,CD\perp\left(SCA\right)\) ?
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật , AB = a, AD = 2, hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ' ) là trung điểm H của A’D’. Biết rằng AA’ hợp với đáy một góc 60 0 . Gọi α là số đo của góc giữa hai đường thẳng A C , B ' D . Khi đó cos α bằng
Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ AD vuông góc với AB và AD = AB(AD thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng với AC có bờ là AB). Vẽ AE vuông góc với AC(AE thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng với AB có bờ là AC). CMR: BE = CD và \(BE\perp CD\)
bạn ơi đề có thiều gì ko vậy bạn mình nghĩ là phải có AE = AC nữa chứ
À mk quên đó bn, bạn thêm cái đó vô lm hộ mk vs
Ta có : BAD^ =90*
mà : BAC^+CAD^=BAD^
=> BAC^+CAD^=90* (1)
Lại có : EAC^ = 90*
do : EAB^+BAC^=EAC^
=> EAB^+BAC^=90* (2)
Từ 1 và 2 => CAD^=EAB^
Xét tam giác EAB và tam giác CAD
CAD^=EAB^ (cmt)
AB=AD (gt)
AE=AC (gt)
=>Tam giác EAB = Tam giác DAC ( c-g-c )
Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C có bờ là đường thẳng AB, ta dựng đoạn AE \(\perp\)AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B có bờ là đường thẳng AC, ta dựng đoạn AF \(\perp\)AC và AF = AC. Vẽ AD vuông góc với BC (D thuộc BC)
a) Chứng minh rằng: FB = EC và FB \(\perp\)EC.
b) Đường thẳng EF cắt AD ở M. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF.