Bạn tham khảo:

Cho hai số thực a;b thay đổi thỏa mãn điều kiện \(a b\ge1\) và \(a>0\) Tìm GTNN của \(A=\frac{8a^2 b}{4a} b^2\) - Hoc24

Chắc là bạn ghi nhầm mẫu số cuối cùng

\(\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{1+4a^2}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{4a}=1+b-a\left(1+b\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(1+c\right)\) ; \(\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(1+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge3+a+b+c-\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

\(A=a^3b^3+\dfrac{1}{a^3b^3}+2=a^3b^3+\dfrac{1}{2^{12}.a^3b^3}+\dfrac{2^{12}-1}{2^{12}a^3b^3}+2\)

\(A\ge2\sqrt{\dfrac{a^3b^3}{2^{12}.a^3b^3}}+\dfrac{2^{12}-1}{2^{12}.\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^6}+2=\dfrac{2}{2^6}+\dfrac{2^{12}-1}{2^6}+2=\dfrac{2^{12}+1}{2^6}+2\) (casio)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(A=\dfrac{a^2}{a+4}+\dfrac{b^2}{b+4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+8}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)

\(=\dfrac{4^2}{4+8}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{4}{3}\Rightarrow A_{min}=\dfrac{4}{3}\) khi \(\dfrac{a}{a+4}=\dfrac{b}{b+4}\)

\(\Rightarrow ab+4a=ab+4b\Rightarrow a=b=2\)

\(A=\dfrac{a^2}{a+4}+\dfrac{b^2}{b+4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+8}=\dfrac{4^2}{4+8}=\dfrac{4}{3}\)

\(A_{min}=\dfrac{4}{3}\) khi \(a=b=2\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+a^2+b^2+6ab}+\frac{1}{3ab}\)

\(=\frac{4}{1+(a+b)^2+4ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+1+4.\frac{1}{4}}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}\)

Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$

biến b để làm gì thế bạn???

Trước hết ta c/m bổ đề sau:

Với mọi số thực dương x;y ta luôn có:

\(x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)

Thật vậy, BĐT đã cho tương đương:

\(x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng bổ đề trên ta có:

\(T\le\dfrac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a}+\dfrac{b}{ac\left(a^2+c^2\right)+b}+\dfrac{c}{ab\left(a^2+b^2\right)+c}\)

\(\Rightarrow T\le\dfrac{a^2}{abc\left(b^2+c^2\right)+a^2}+\dfrac{b^2}{abc\left(a^2+c^2\right)+b^2}+\dfrac{c^2}{abc\left(a^2+b^2\right)+c^2}\)

\(\Rightarrow T\le\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)

\(T_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)