Gọi BH là đường cao của ∆ABO

Ta có 2S_AOB = OA . BH

Nhưng BH ≤ BO nên  2S_AOB ≤ OA . OB

mà OA.OB

Do đó 2S_AOB 

Dấu “=” xảy ra  OA  OB và OA = OB

Chứng minh tương tự ta có:

2S_BOC  ;   2S_COD

2S_AOD

Vậy 2S = 2(S_AOB + S_BOC + S_COD + S_DOA) ≤

Hay 2S ≤ OA² + OB² + OC² + OD²

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi OA = OB = OC = OD

và  là hình vuông tâm O.

cậu tự vẽ hình nhé tớ giải cho :

ta có : \(OA+OC\ge AC\)

          \(OB+OD\ge BD\)

=> \(OA+OB+OC+OD\ge AC+BD\)

Min của OA+OB+OC+OD là AC+BD <=> O là giao điểm của 2 đường chéo

cảm ơn nhé Luffy 123

không có chi

Hạ CH vuông góc với OB tại H. Theo quan hệ đường xiên hình chiếu: 

\(CH\le OC\Leftrightarrow CH.OB\le OC.OB\Leftrightarrow2.S_{BOC}\le OC.OB\)(Do \(S_{BOC}=\frac{CH.OB}{2}\))

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(OC.OB\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\)

\(\Rightarrow2.S_{BOC}\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\left(1\right)\). Chứng minh tương tự ta được:

\(2.S_{AOB}\le\frac{OA^2+OB^2}{2}\left(2\right);2.S_{DOC}\le\frac{OD^2+OC^2}{2}\left(3\right);2.S_{AOD}\le\frac{OA^2+OD^2}{2}\left(4\right)\)

Cộng (1); (2); (3) và (4) theo vế: 

\(2.\left(S_{BOC}+S_{AOB}+S_{DOC}+S_{AOD}\right)\le\frac{2.\left(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow2S\le OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\)=> ĐPCM.

 \(2.S_{BOC}\le OC.OB\). Dấu "=" xảy ra <=> OC vuông góc với OB

 \(OC.OB\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> OC=OB

Suy ra \(2.S_{BOC}\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> \(\Delta\)BOC vuông cân tại O

Tương tự với các tam giác AOB; AOD; DOC.

Vậy dấu "=" xảy ra <=> Tứ giác ABCD là hình vuông và O là tâm của hình vuông này.