Ta có: 

\(n^3-4n^2-2n+15=n^3-3n^2-n^2+3n-5n+15\)

\(=\left(n-3\right)\left(n^2-n-5\right)\)

Để \(n^3-4n^2-2n+15\)là số nguyên tố thì 

\(\orbr{\begin{cases}n-3=1\\n^2-n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=4\\n=3\end{cases}}\)(vì \(n\)là số tự nhiên) 

Với \(n=4\): \(n^3-4n^2-2n+15=7\)là số nguyên tố, thỏa mãn. 

Với \(n=3\): \(n^3-4n^2-2n+15=0\)không là số nguyên tố, loại. 

n3−4n2+4n−1=(n3−1)−4n(n−1)=(n−1)(n2−3n+1)n3−4n2+4n−1=(n3−1)−4n(n−1)=(n−1)(n2−3n+1)

Để biểu thức là số nguyên tố thì nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó 

Tức là chỉ chia hết cho n-1 hoặc (n2−3n+1)(n2−3n+1) hoặc(n−1)(n2−3n+1)(n−1)(n2−3n+1)

Suy ra: n - 1 = 1 hoặc n2−3n+1=1n2−3n+1=1
=> n=2 hoặc n=0 hoặc n = 3

Trong 3 kết quả ta chỉ nhận n =3. Khi đó biểu thức có giá trị là 2 (số nguyên tố)

Đáp số n = 3

\(n^2+4n=n\left(n+4\right)\)

Để n(n+4) là số nguyên tố thì (n+4;n): (4;1);(1;4);(-1;-4);(-4;-1)

Nếu n+4 = 4; n=1 => n =0 hoặc n=1

Nếu n+4=1; n=4 => n=-3 hoặc n=4

Nếu n+4 = -1;n=-4 => n = 3 hoặc n=-4

Nếu n+4= -4; n= -1 => n=-8; n=-1

\(n^2+4n=n\left(n+4\right)\)

Để \(n^2+4n\) là số nguyên tố thì \(\left[{}\begin{matrix}n=1\\n+4=1\end{matrix}\right.\).

Với \(n=1\): \(n^2+4n=5\) (thỏa mãn). 

Với \(n+4=1\Leftrightarrow n=-3\) (không thỏa mãn).