MNPH là hình thang
gọi K là giao điểm của AH với Mn . tính được K =1/2 AH. 
MN =1/2BC
 

Lời giải:

$M,N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow MN\parallel BC$ hay $MN\parallel HP$

$\Rightarrow MNPH$ là hình thang $(*)$

Mặt khác:
Tam giác vuông $ABH$ có $HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM=\frac{AB}{2}=MB$ (bổ đề quen thuộc)

$\Rightarrow $MHB$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{MBH}$

Mà $\widehat{MBH}=\widehat{NPC}$ (hai góc đồng vị với $NP\parallel AB$)

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NPC}$

$\Rightarrow 180^0-\widehat{MHB}=180^0-\widehat{NPC}$

Hay $\widehat{MHP}=\widehat{NPH}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow $MNPH$ là hình thang cân (đpcm)

Hình vẽ: 

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MN//BC\) (tính chất đường trung bình).

\( \Rightarrow MN//HP\left( {H;P \in BC} \right)\)

Xét tứ giác \(MNPH\) có: \(MN//HP \Rightarrow \) tứ giác \(MNPH\) là hình thang.

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;P\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MP = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình) (1).

- Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có:

\(N\)là trung điểm của \(AC\) nên \(HN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MP = HN\).

Xét hình thang \(MNPH\) có: \(MP = HN\) (chứng minh trên).

Do đó, hình thang \(MNPH\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

Đừng có hỏi nữa 

xet tam giac ABC ta co

M la trung diem AC (gt) N la trung diem AB (gt)-> MN la duong trung binh tam giac ABC-> MN//BC-> MNHP la hinh thang

cmtt NP la duong trung binh tam giac ABC-> NP=1/2 AC

xet tam giac AHC vuong tai H ta co 

HM la duong trung tuyen ung voi canh huyen AC ( M la trung diem AC)--> HM=1/2 AC

ma NP=1/2AC (cmt )

nen NP=HM

Xét hình thang MNHP ta có NP=HM (cmt)-> MNHP là hình thang cân ( hình thang có 2 đường chéo bằng nhau)