Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.

Vì C nằm giữa A và B nên ta có:

AC + CB = AB (1)

Lấy điểm C' bất kỳ trên d (C' ≠ C)

Nối AC', BC'

Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác vào ∆ABC', ta có:

AC' + BC' > AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AC' + C'B > AC + CB.

Vậy điểm C cần tìm là giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d.

C là giao của AB với d thì tổng AC+CB là nhỏ nhất vì

Nếu C không thuộc AB thì 3 điểm A,B,C sẽ tạo thành 1 tam giác

Trong tam giác ABC thì AC+CB>AB (Trong tam giác tổng hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại)

=> AC+CB nhỏ nhất khi =AB tức là C thuộc AB

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó :

MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B

'A B≥

. Dấu bằng chỉ

xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó :

MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B

'A B≥

. Dấu bằng chỉ

xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’

Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó :

MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B

'A B≥

. Dấu bằng chỉ

xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’

nối A với B cắt d tại C, ta có đoạn thẳng ACB là nhỏ nhất hay AC+CB nhỏ nhất

cm: lấy 1 điểm C' bất kỳ trên d, tam giác AC'B có:

AC' + C'B > AB mà AB = AC+CB

vậy bất cứ C' nào tên d điều tạo thành tam giác AC'B có AC'+ C'B > AB ( AB= AC+CB)(dpcm)

* Phân tích

Giả sử điểm M thuộc xy đã tìm được để có MA+ MB là ngắn nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua xy

ta có: MA = MA’

suy ra MA’ + MB cũng ngắn nhất .

Mà A và B lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xy

Nên M phải nằm giữa A’và B tức là MA’ + MB = A’B

Suy ra M phải là giao của A’B và xy.

* Cách dựng

Dựng A’ đối xứng với A qua xy,

Nối A’với B cắt xy tại điểm M

*Chứng minh :

Nối M với A ta có MA = MA’ (A và A’ đối xứng với nhau qua xy)

Mà MA’ + MB = A’B

suy ra MA+MB =A’B là ngắn nhất

Thật vậy: nếu lấy một điểm M’ thuộc xy mà M’ khác M ,

nối M’ với A’ và M’ với B

ta có tam giác M’A’B.

Do đó M’A’ + M’B > A’B

mà M’A’ = M’A’(tính chất đối xứng).

Gọi M là giao của AB và d. Khi đó A, B, M thẳng hàng nên AM + MB nhỏ nhất.

Giả sử có một điểm M’\(\ne\)M, M’ thuộc d

Trong ABM’ có: AM’ + BM’ \(\ge\) AB (bất đẳng thức trong tam giác)

\(\Leftrightarrow AM'+BM'\ge AM+MB\)

Dấu “=” xảy ra khi M’ trùng với M

Vậy AM + MB nhỏ nhất khi A, M, B thẳng hàng