a: sđ cung AC=2/3*180=120 độ

=>sđ cung AM=sđ cung MC=120/2=60 độ

sđ cung NB=sđ cung NC=60/2=30 độ

góc MIC=1/2(sđ cung AB+sđ cung MC)

=1/2(180+60)=120 độ

b: N là điểm chính giữa của cung BC

=>ON vuông góc bC

=>ON//AC
=>DN vuông góc NO

=>DN là tiếp tuyến của (O)

a, Chứng minh được ∆COD đều =>   A M B ^ = 60 0

b,  A B C ^ = 30 0 =>  A O C ^ = 60 0 =>  l A C ⏜ = πR 3

a) Xét tam giác DAC và tam giác DBE có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADC}=\widehat{BDE}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\\widehat{DAC}=\widehat{DBE}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{CE}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DAC\sim\Delta DBE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DE}\Rightarrow DA.DE=DB.DC\).

b) Ta có \(\widehat{FCB}=\widehat{FEA}=90^o\) nên tứ giác FCDE nội tiếp đường tròn đường kính FD.

c) Dễ thấy I là trung điểm của FD.

Từ đó tam giác ICD cân tại I.

Dễ thấy D là trực tâm của tam giác FAB nên \(FD\perp AB\). Ta có: \(\widehat{ICD}=\widehat{IDC}=90^o-\widehat{AFD}=\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BC}\) nên IC là tiếp tuyến của (O).

giúp mik vs mik cần gấp:(

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\Rightarrow AC\bot BC\)

mà \(ON\bot BC\) (N là điểm chính giữa cung BC)

\(\Rightarrow CK\parallel EN\) mà \(NK\bot KC\Rightarrow NK\bot EN\)

\(\Rightarrow\angle KCE=\angle KNE=\angle CEN=90\Rightarrow ECKN\) là hình chữ nhật

\(\angle KNO=90\Rightarrow KN\) là tiếp tuyến

b) ECKN là hình chữ nhật \(\Rightarrow ECKN\) cũng nội tiếp

\(\Rightarrow\angle KEN=\angle KCN=\angle CNE\) \((KC\parallel NE)\)

Vì \(AC\parallel ND\) mà ACND nội tiếp \(\Rightarrow ACND\) là hình thang cân

\(\Rightarrow\angle CNE=\angle ADN\Rightarrow\angle KEN=\angle ADN\) \(\Rightarrow KE \parallel AD\)

mà \(KA\parallel ED\) \(\Rightarrow KEDA\) là hình bình hành

c) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}MO\bot AC\\NK\bot AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MO\parallel NK\) \(\Rightarrow\dfrac{NI}{IM}=\dfrac{NK}{MO}\Rightarrow\dfrac{NI}{NK}=\dfrac{MI}{MO}=\dfrac{MI}{R}\)

Vì M,N lần lượt là điểm chính giữa cung AC,BC \(\Rightarrow\angle MON=90\)

\(\Rightarrow MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R\)

Ta có: \(\dfrac{NI}{NK}+\dfrac{NI}{NO}=\dfrac{MI}{R}+\dfrac{NI}{R}=\dfrac{MI+NI}{R}=\dfrac{MN}{R}=\dfrac{\sqrt{2}R}{R}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow NI\left(\dfrac{1}{NK}+\dfrac{1}{NO}\right)=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{NI}=\dfrac{1}{NK}+\dfrac{1}{NO}\)