Một khối cầu đặc đồng chất, tâm O, bán kính R, khối lượng m, bị khoét một lỗ hổng cũng có dạng hình cầu tâm O’ bán kính R/2, như hình 3.34. Mômen quán tính của phần còn lại của khối cầu đối với trục Oy (tính theo m, R) là bao nhiêu ?
Có một khối cầu bằng gỗ bán kính R=10cm. Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng một nửa R đối xứng nhau qua tâm khối cầu, một người thợ khoan xuyên tâm khối cầu. Người thợ đã khoan bỏ đi phần hình trụ có trục của nó trùng với trục hình cầu; mặt cắt của hình trụ vuông góc với trục hình trụ là một hình tròn có bán kính bằng 1/2R. Tính thể tích V của phần còn lại của khối cầu (làm tròn đến số thập phân thứ ba).
Trong một quả cầu bằng chì bán kính R, người ta khoét một lỗ hình cầu bán kính R/2
Tìm lực do quả cầu tác dụng lên vật nhỏ m trên đường nối tâm hai hình cầu, cách tâm hình cầu lớn một đoạn d, biết rằng khi chưa khoét quả cầu có khối lượng M.
A. F = G M n 7 d 2 - 8 d R + 2 R 2 8 d 2 d - R 2 2
B. F = G M n 7 d 2 + 8 d R + 2 R 2 8 d 2 d - R 2 2
C. F = G M m 7 d 2 - 8 d R + 2 R 2 d 2 d - R 2 2
D. F = G M m 7 d 2 - 8 d R + 2 R 2 4 d 2 d - R 2 2
Chọn A.
Phần khoét đi, nếu đặt lại chỗ cũ sẽ hút m lực hấp dẫn:
Lực hấp dẫn do cả quả cầu đặc tác dụng lên m:
Do quả cầu đồng chất nên:
Thay vào (*) rồi biến đổi ta được
Trong một quả cầu bằng chì bán kính R, người ta khoét một lỗ hình cầu bán kính R 2 .
Tìm lực do quả cầu tác dụng lên vật nhỏ m trên đường nối tâm hai hình cầu, cách tâm hình cầu lớn một đoạn d, biết rằng khi chưa khoét quả cầu có khối lượng M.
Đáp án A.
Phần khoát đi, nếu đặt lại chỗ cũ sẽ hút m lực hấp dẫn: F 1 = G M k m ( d - R 2 ) 2
Lực hấp dẫn do cả quả cầu đặc tác dụng lên m: F 2 = G M m d 2
Suy ra:
Có một khối cầu bằng gỗ bán kính R = 10cm. Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng 1 2 R đối xứng nhau qua tâm của khối cầu, một người thợ mộc đục xuyên tâm của khối cầu gỗ. Người thợ mộc đã đục bỏ đi phần hình hộp chữ nhật có trục của nó trùng với trục hình cầu và có hai mặt lần lượt nằm trên hai mặt phẳng chứa hai đáy của chỏm cầu; hai mặt này là hai hình vuông có đường chéo bằng R (tham khảo hình vẽ bên).
Tính thể tích V của phần còn lại của khối cầu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
A. V = 3215 , 023 c m 3 .
B. V = 3322 , 765 c m 3 .
C. V = 3268 , 894 c m 3 .
D. V = 3161 , 152 c m 3 .
Đáp án A.
Gọi I là tâm của đường tròn dáy của chỏm cầu. M là 1 đỉnh của hình hộp thuộc đường tròn I ; R 2 .
Ta có:
I M = R 2 ; O M = R ⇒ O I = R 2 − R 2 4 = 3 R 2 .
Do đó khối hộp có chiều cao là
h = 3 R = 10 3 .
Thể tích của chỏm cầu bị cắt:
V = ∫ h 2 R π R 2 − x 2 d x = ∫ 5 3 10 π 100 − x 2 d x ≃ 53 , 87.
Thể tích của khối hộp chữ nhật:
V = S d . h = R 2 2 . 3 . R = 3 2 R 3 ≃ 866 , 025.
Thể tích khối cầu ban đầu:
V = 4 3 π R 3 ≃ 4188 , 79.
Do đó thể tích cần tính:
V ≃ 4188 , 79 − 866 , 025 − 2.53 , 87 ≃ 3215 , 023.
-Khối cầu đặc đồng chất tâm O, bán kính R, khối lượng m phân bố đều, Người ta khoét bên trong khối cầu đó một lỗ hổng cũng có dạng hình cầu tâm O', bán kính r = R/2. biết O cách O' 1 đoạn d =R/2. tinh momen quán tính của các phần còn lại của khối cầu đối với trục quay trong các trường hợp :
- Chứa O và O'.
- Chứa O và vuông góc với OO'
- Chứa O' và vuông góc với OO'
Ý tưởng chung là "bù" phần bị khoét, coi như nó đặc, như vậy ta luôn có \(I_O+I_{O'}=I_C\) với \(I_C\) là mômen quán tính của hình cầu đặc hoàn hảo khi chưa bị khoét \(\Rightarrow I_O=I_C-I_{O'}\)
Ta có khối lượng đã bị khoét:
\(\frac{m'}{m}=\left(\frac{r}{R}\right)^3\Rightarrow m'=\frac{m}{8}\)
TH1: Trục quay qua \(OO':\)
\(I_O=I_C-I_{O'}=\frac{2}{5}mR^2-\frac{2}{5}m'.r=\frac{2}{5}mR^2-\frac{2}{5}.\frac{m}{8}.\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{31}{80}mR^2\)
TH2: Chứa O và vuông góc OO':
Áp dụng định lý Steiner-Huyghen, momen quán tính của phần tưởng tượng \(O'\) với trục qua O và vuông góc OO':
\(I_{O'}=\frac{2}{5}\frac{m}{8}\left(\frac{R}{2}\right)^2+\frac{m}{8}.\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{7}{160}mR^2\)
\(\Rightarrow I_O=I_C-I_{O'}=\frac{2}{5}mR^2-\frac{7}{160}mR^2=\frac{57}{160}mR^2\)
- TH3: Chứa O' và vuông góc OO':
Áp dụng định lý Steiner-Huyghen, momen của khối chưa bị khoét \(I_C\) với trục mới:
\(I_C=\frac{2}{5}mR^2+m.\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{13}{20}mR^2\)
\(\Rightarrow I_O=I_C-I_{O'}=\frac{13}{20}mR^2-\frac{2}{5}.\frac{m}{8}.\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{51}{80}mR^2\)
Xác định vị trí trọng tâm của bản mỏng là đĩa tròn tâm O bán kính R, bản bị khoét một lỗ tròn bán kính R/2 như hình.
Do tính đối xứng G nằm trên đường thẳng OO’ về phía đầy.
Trọng tâm của đĩa nguyên vẹn là tâm O; trọng tâm của đĩa bị khoét là O’.
P → là hợp lực của hai lực P → 1 , P → 2 .
O G O O ' = P 2 P 1 = m 2 m 1 = V 2 V 1 = S 2 S 1 = π R 2 4 3 π R 2 4 = 1 3 ⇒ O G = R 6
Khi cắt mặt cầu S (O, R) bởi một mặt kính đi qua tâm O, ta được hai nửa mặt cầu giống nhau. Giao tuyến của mặt kính đó với mặt cầu gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R = 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Khi cắt mặt cầu S (O, R) bởi một mặt kính đi qua tâm O, ta được hai nửa mặt cầu giống nhau. Giao tuyến của mặt kính đó với mặt cầu gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R = 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
A. r = 3 2 ; h = 6 2
B. r = 6 2 ; h = 3 2
C. r = 6 3 ; h = 3 3
D. r = 3 3 ; h = 6 3
Chọn C.
Phương pháp: Dựa vào dữ kiện bài toán lập hàm số và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Khi cắt mặt cầu S (O; R) bởi một mặt kính đi qua tâm O, ta được hai nửa mặt cầu giống nhau. Giao tuyến của mặt kính đó với mặt cầu gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S (O; R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R = 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S(O; R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Chọn đáp án C
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O’ là hình chiếu của O xuống mặt đáy (O’). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.
Thể tích khối trụ là