Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Gọi d là ƯCLN(n+1,3n+2)

=> n+1 chia hết cho d => 3(n+1) chia hết cho d => 3n+3 chia hết cho d

3n+2 chia hết cho d

=> [(3n+3)-(3n+2)] chia hết cho d

1 chia hết cho d

=> d thuộc {-1;1}

mà d lớn nhất => d = 1

=> ƯCLN(n+1,3n+2) = 1

=> n+1 và 3n+2 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Gọi ƯC(n+2;n+1)=d

=> n+2 chia hết cho d và n+1 chia hết cho d

=> (n+2)-(n+1) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = \(\pm\)1

Hay n+2 và n+1 là 2 SNT cùng nhau

Đề sai, vì khi n = 7 thì 2n + 1 = 15 và n + 2 = 9; không phải là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ước chung của n+1 và 3n+4

Ta có n+1 ⋮ d; 3n+4 ⋮ d

Suy ra (3n+4) - (3n+3) ⋮ d => 1 ⋮ d => d = 1

Vậy hai số n+1 và 3n+4 (n ∈ N) là hai số nguyên tố cùng nhau

Đặt UCLN(n + 1 ; 3n + 4) = d

n + 1 chia hết cho d => 3n + 3 chia hết cho d

UCLN(3n + 3 ; 3n + 4) = 1

Do đó d = 1

=> n + 1 và 3n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau (dpcm) 

\(a.d=UCLN\left(n+2,n+3\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}n+2⋮d\\n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(n+3\right)-\left(n+2\right)=1⋮d\)

Mà chỉ có 1⋮1 ⇒n+2, n+3 nguyên tố cùng nhau

\(b.d=UCLN\left(n-2,n+3\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}n-2⋮d\\n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(n+3\right)-\left(n-2\right)=5⋮d\)

Mà\(\dfrac{n+3}{n-2}\)là số nguyên ⇒d ϵ\(\left\{5,-5\right\}\)

Thử từng trường hợp nhé!

Tích mình nhoaa!

ok

tích cho rồi đó☺