Question

Chứng tỏ:

n^2 và n-1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Answer 1

Định nghĩa: Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN là 1.

Gọi \(ƯCLN\left(n^2,n-1\right)\) là \(d\)

Ta có:

\(n-1⋮d\\ \Rightarrow\left(n-1\right)^2⋮d\\ \Leftrightarrow n^2-2n+1⋮d\\ n^2⋮d\\ \Rightarrow n^2-\left(n^2-2n+1\right)⋮d\\ \Leftrightarrow2n-1⋮d\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(n-1⋮d\\ \Rightarrow2\cdot\left(n-1\right)⋮d\\ \Leftrightarrow2n-2⋮d\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\left(2n-1\right)-\left(2n-2\right)⋮d\\ \Leftrightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)

Theo định nghĩa ta có: \(n^2\) và \(n-1\) là hai số nguyên tố cùng nhau

Answer 2