Question

Tìm n để 5n+3 và 4n+5 không phải số nguyên tố cùng nhau

Answer 1

Lời giải:

$n$ là số tự nhiên

Gọi ƯCLN \((5n+3,4n+5)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5n+3\vdots d\\ 4n+5\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n-2\vdots d\Rightarrow 5n-10\vdots d\)

$\Rightarrow (5n+3)-(5n-10)\vdots d$

$\Leftrightarrow 13\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $13$

Để $5n+3, 4n+5$ không nguyên tố cùng nhau thì $d=13$

Tức là $5n+3\vdots 13$ và $4n+5\vdots 13$

$\Rightarrow n-2\vdots 13$. Đặt $n=13k+2$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó $5n+3=5(13k+2)+3=13(5k+1)\vdots 13$ và $4n+5=4(13k+2)+5=13(4k+1)\vdots 13$

Vậy $n$ có dạng $13k+2$ với $k$ là số tự nhiên thì $5n+3$ và $4n+5$ không ntcn.