Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau :

a) 7n + 10 và 5n + 7

b) 2n + 3 và 4n + 8

Answer 1

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau :

a) 7n + 10 và 5n + 7

Gọi d là ƯCLN(5n + 7; 7n + 10)

=> 5n + 7 \(⋮\) d => 50n + 70 \(⋮\) d

7n + 10 \(⋮\) d => 49n + 70 \(⋮\) d

=> (50n + 70) - (49n + 70) \(⋮\) d

=> 1\(⋮\) d

=> d \(\in\) Ư(1) = 1

Vậy 7n + 10 và 5n + 7 là 2 số nguên tố cùng nhau.

Answer 2

b) 2n + 3 và 4n + 8

Gọi d là ƯCLN(2n + 3; 4n + 8)

=> 4n + 8 \(⋮\) d => 4n + 8 \(⋮\) d => 2n + 3 \(⋮\) d => 4n + 6 \(⋮\) d => (4n + 8) - (4n + 6) \(⋮\) d => 2 \(⋮\) d => d \(\in\) Ư(2) => d \(\in\) {1; 2} Nếu d = 2 thì 2n + 3 \(⋮̸\) 2 (Không thoả mãn) Vậy d = 1 nên hai số 2n + 3; 4n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau.