Violympic toán 6

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Đinh Huyền Mai

Chứng minh rằng các phân số sau tối giảm với mọi số tự nhiên \(n\):

\(a,\dfrac{n+1}{2n+3}\)

\(b,\dfrac{2n+3}{4n+8}\)

\(c,\dfrac{3n+2}{5n+3}\)

Phạm Ngân Hà
8 tháng 3 2017 lúc 21:05

a) Đặt ƯCLN(n+1; 2n+3) = d

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ_{\left(1\right)}=1\)

Vậy phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) tối giản với mọi \(n\in N\).

b) Đặt ƯCLN(2n+3; 4n+8) = d.

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\Leftrightarrow d\inƯ_{\left(2\right)}=\left\{1;2\right\}\)

\(2n+3=2n+2+1\)\(2n+2⋮2\) nhưng \(1⋮̸2\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy phân số \(\frac{2n+3}{4n+8}\) tối giản với mọi \(n\in N\).

c) Đặt ƯCLN(3n+2; 5n+3) = d.

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(15n+10\right)-\left(15n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n+10-15n-9⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d\inƯ_{\left(1\right)}=1\)

Vậy phân số \(\frac{3n+2}{5n+3}\) tối giản với mọi \(n\in N\).

Tuấn Đinh
8 tháng 3 2017 lúc 20:59

Nếu các phân số trên là phân số tối giản thì ước chung lớn nhât của tử và mẫu của các phân số phải là 1

Gọi d là ước chung lớn nhất của tử và mẫu các phân số

a, n+1 chia hết cho d =>2n+2 chia hết cho d

2n+3 chia hết cho d

Từ hai giả thiết trên =>(2n+3)-(2n+2) chia hết cho d

1 chia hết cho d

=>d=1

Phân số trên tối giản với mọi số tự nhiên n

b,2n+3 chia hết cho d =>4n+6 chia hết cho d

4n+8 chia hết cho d

Từ hai giả thiết trên =>(4n+8)-(4n+6) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=>d thuộc {1;2}

Phân số trên chưa tối giản với mọi số tự nhiên n

c, 3n+2 chia hết cho d => 15n+10 chia hết cho d

5n+8 chia hết cho d => 15n+24 chia hết cho d

Từ hai giả thiết trên => (15n+24)-(15n+10) chia hết cho d

=> 14 chia hết cho d

=>d {1;2;7;14)

Phân số trên chưa tối giản với mọi số tự nhiên n

Mình làm xong rồi,nếu bài này chứng minh các phân số đều tối giản thì chắc chắn sai đề,không tin các bạn thử xem ở phân số b với c ý

Cậu Bé Ngu Ngơ
8 tháng 3 2017 lúc 21:04

Gọi d là ƯCLN(n+1;2n+3)

\(\Rightarrow\)n+1\(⋮d\)và2n+1\(⋮d\)

Vì n+1\(⋮d\)\(\Rightarrow\)2(n+1)\(⋮d\)

\(\Rightarrow\)2n+2\(⋮d\)

ta có

2n+3-(2n+2)\(⋮d\)

\(\Rightarrow\)1\(⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\)Ư(1)hay 1 là B(d)={+-1}

Vì ƯCLN(n+1 và 2n+1)=1\(\Rightarrow\)\(\dfrac{n+1}{2n+3}\)là phân số tôi giản

hiùhiuhwriU
18 tháng 5 2018 lúc 18:45

a, gọi d là ƯCLN(n + 1, 2n + 3)

=> n + 1 chia hết d, 2n + 1 chia hết d

=> 2(n + 1) chia hết d, 2n + 3 chia hết d

<=> 2n + 2 - (2n + 3) chia hết d

<=> 2n + 2 - 2n - 3 chia hết d

=> 1 chia hết d

=> 1 = d

=> ƯCLN(n + 1, 2n + 3) = 1

=> phân số n + 1 phần 2n + 3 là phân số tối giản (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Quỳnh Ngân
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Meow Channel
Xem chi tiết
Huỳnh Đan
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Huyền
Xem chi tiết
Trang Đỗ Mỹ
Xem chi tiết
Lê Diệu Ngân
Xem chi tiết
dream XD
Xem chi tiết
Thân Thị Hoa
Xem chi tiết