Cho a, b,c là 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR: a) \(\dfrac{a}{b+c+a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
b) \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\) là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: \(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(A=\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}\ge\dfrac{4}{2b}\ge\dfrac{2}{b}\\\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{b+c-a+c+a-b}\ge\dfrac{4}{2c}\ge\dfrac{2}{c}\\\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{a+b-c+c+a-b}\ge\dfrac{4}{2a}\ge\dfrac{2}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\right)\ge\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) \(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow a=b=c\)
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
+
+
≥ 3.
Đặt b + c – a = x > 0 (1); a + c – b = y > 0 (2); a + b – c = z > 0 (3)
Cộng (1) và (2) => b + c – a + a + c – b = x + y ⇔ 2c = x + y ⇔ c =
Tương tự a = ; b =
Do đó +
+
=
+
+
=
(
+
+
+
+
+
)
= [(
+
) + (
+
) + (
+
)] ≥
(2 + 2 + 2) = 3.
Vậy +
+
≥ 3.
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh \(\dfrac{1}{a+b-c}\)+\(\dfrac{1}{b+c-a}\)+\(\dfrac{1}{c+a-b}\)≥\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\)
Mọi người giúp mình nhé
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{2}{b}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{a}\) ; \(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c}\)
Cộng vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\right)\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:
a, 1 < \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
b, 1 < \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)
1. Đặt $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=T$
$\frac{a}{b+c}> \frac{a}{a+b+c}$
$\frac{b}{c+a}> \frac{b}{c+a+b}$
$\frac{c}{a+b}> \frac{c}{a+b+c}$
$\Rightarrow T> \frac{a+b+c}{a+b+c}=1$ (đpcm)
----
Xét hiệu:
$\frac{a}{b+c}-\frac{2a}{a+b+c}=\frac{-a(b+c-a)}{(b+c)(a+b+c)}<0$ theo BĐT tam giác
$\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}$
Tương tư: $\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{c+a+b}$
$\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}$
Cộng theo vế:
$T< \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
$\frac{b}{a+c}
2.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b+c}{a}.1\leq \frac{1}{4}(\frac{b+c}{a}+1)^2=\frac{(b+c+a)^2}{4a^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\Rightarrow T\geq \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
Dấu "=" xảy ra khi $b+c=a; c+a=b; a+b=c\Rightarrow a=b=c=0$ (vô lý)
Vậy dấu "=" không xảy ra, tức là $T>2>1$ (đpcm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Cm:
1<\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
Để chứng minh bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2, ta sẽ chứng minh từng phần.
Phần 1: Chứng minh 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b
Ta có:
a/b + b/c + c/a > 3√(a/b * b/c * c/a) = 3√(abc/(abc)) = 3
Vậy ta có: a/b + b/c + c/a + b/a + c/b + a/c > 3 + 1 + 1 = 5
Phần 2: Chứng minh a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2
Ta có:
a/b + b/c + c/a < a/b + b/a + b/c + c/b = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b) ≥ 2√[(a+b)/(b+c) * (b+c)/(a+b)] = 2
Do đó ta có: a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2
Từ đó, ta suy ra bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2.
Để chứng minh bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2, ta sẽ chứng minh từng phần.
Phần 1: Chứng minh 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b
Ta có:
a/b + b/c + c/a > 3√(a/b * b/c * c/a) = 3√(abc/(abc)) = 3
Vậy ta có: a/b + b/c + c/a + b/a + c/b + a/c > 3 + 1 + 1 = 5
Phần 2: Chứng minh a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2
Ta có:
a/b + b/c + c/a < a/b + b/a + b/c + c/b = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b) ≥ 2√[(a+b)/(b+c) * (b+c)/(a+b)] = 2
Do đó ta có: a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2
Từ đó, ta suy ra bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2.
Cho \(a,b,c\) là các cạnh của một tam giác, CMR:
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
-Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x>0\\c+a-b=y>0\\a+b-c=z>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=z+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{x+y}{2}\\a=\dfrac{y+z}{2}\\b=\dfrac{z+x}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}=\dfrac{\dfrac{y+z}{2}}{x}+\dfrac{\dfrac{z+x}{2}}{y}+\dfrac{\dfrac{x+y}{2}}{z}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)+\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\right]\ge\dfrac{1}{2}.\left(2+2+2\right)=3\left(đpcm\right)\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh và x, y, z là độ dài 3 đường phân giác trong tam giác của các góc đối diện với cạnh đó. Chứng minh: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Xét tam giác ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Phân giác của các góc A, B, C lần lượt là AD = x, BE = y, CF = z.
Kẻ DM // AB \((M\in AC)\).
Ta có \(\widehat{ADM}=\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\Rightarrow\) Tam giác AMD cân tại M.
Do đó AM = MD.
Áp dụng định lý Thales với DM // AB ta có:
\(\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{CM}{AC}=1-\dfrac{AM}{AC}=1-\dfrac{DM}{AC}\Rightarrow\dfrac{MD}{AB}+\dfrac{MD}{AC}=1\Rightarrow\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\).
Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác ta có \(x=AD< AM+MD=2MD\Rightarrow MD>\dfrac{x}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{MD}< \dfrac{2}{x}\Rightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}< \dfrac{2}{x}\).
Tương tự \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}< \dfrac{2}{y};\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}< \dfrac{2}{z}\).
Cộng vế với vế của các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC, biết rằng: \(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8\)
CMR: Tam giác ABC là tam giác đều.
Câu hỏi của Phạm Thị Hường - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo bài làm ở link này nhé!