\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)

Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua

\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(OH^2=t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)

a: Thay x=0 và y=3 vào (d1), ta đc:

2m+1=3

=>2m=2

=>m=1

(d1): y=3

=>giao của (d1) với (d) nằm trên trục hoành

b: \(h\left(O;d1\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+2m+1\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}=\dfrac{\left|2m+1\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\)

Để h lớn nhất thì m=1

a: Để (d)//y=3x+1 thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-3=3\\m+2< >1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=6\\m< >-1\end{matrix}\right.\)

=>m=6

b: (d): y=(m-3)x+m+2

=mx-3x+m+2

=m(x+1)-3x+2

Tọa độ điểm mà (d) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=-3x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-3\cdot\left(-1\right)+2=3+2=5\end{matrix}\right.\)

c: y=(m-3)x+m+2

=>(m-3)x-y+m+2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\left(m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)+m+2\right|}{\sqrt{\left(m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|m+2\right|}{\sqrt{\left(m-3\right)^2+1}}\)

Để d(O;(d))=1 thì \(\dfrac{\left|m+2\right|}{\sqrt{\left(m-3\right)^2+1}}=1\)

=>\(\sqrt{\left(m-3\right)^2+1}=\left|m+2\right|\)

=>\(\sqrt{\left(m-3\right)^2+1}=\sqrt{\left(m+2\right)^2}\)

=>\(\left(m-3\right)^2+1=\left(m+2\right)^2\)

=>\(m^2-6m+9+1=m^2+4m+4\)

=>-6m+10=4m+4

=>-10m=-6

=>\(m=\dfrac{3}{5}\left(nhận\right)\)