Cho tam ABC vuông tại A, có đường cao AH . Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại M vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại N . Chứng minh 4 tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
Cho tam ABC vuông tại A, có đường cao AH . Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại M vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại N . Chứng minh 4 tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
Xét đường tròn đường kính HB có
ΔHMB nội tiếp đường tròn
HB là đường kính
Do đó: ΔHMB vuông tại M
Xét đường tròn đường kính HC có
ΔHNC nội tiếp đường tròn
HC là đường kính
Do đó: ΔHNC vuông tại N
Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
Cho tam ABC nhọn , có đường cao AH . Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại M vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại N . Chứng minh 4 tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
Cho tam ABC nhọn , có đường cao AH . Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại M vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại N . Chứng minh 4 tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
Cho tam ABC vuông tại A, có đường cao AH . Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại M vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại N . Chứng minh 4 tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
a)
1. Ta có : ÐBEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> ÐAEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1)
ÐCFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> ÐAFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2)
ÐEAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)
a, ta có : góc CFH=90°; góc HEB=90°(góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)
xét tứ giác AEHF có góc A=gócE=góc F=90°
suy ra AEHF là hcn.
b, vì AEHF là hcn suy ra AEHF nội tiếp suy ra góc AFE=AHE( góc nội tiếp chắn cung AE) (1)
ta lại có: góc AHE=ABH(cùng bù với BAH) (2)
từ 1 và 2 suy ra góc AFE=ABH
mà góc CFE+AFE=180°
suy ra góc CFE+ABH=180°
suy ra BEFC nội tiếp
c, gọi I và K lần lượt là tâm đtròn đường kính HB và HC
gọi O là giao điểm AH và EF
vì AEHF là hcn suy ra OF=OH suy ra tam giác FOH cân tại O
suy ra góc OFH=OHF
vì CFH vuông tại F suy ra KC=KF=KH
suy ra tam giác HKF cân tại K
suy ra góc KFH=KHF
mà góc KHF+FHA=90°
suy ra góc KFH+HFO=90°
suy ra EF là tiếp tuyến của đtròn tâm K
tương tự EF là tiếp tuyến đường tròn tâm I
vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AB và AC lần lượt tại M và N
a Chứng minh rằng: AMHN là hình chữ nhật
b. giả sử AB= 6cm, AC= 8cm. Hãy tính bán kính của nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn dường kính CH
c. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của nửa đường tròn HC
Cho tam giác ABC vuông ở A( AB>AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nữa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh:a, Tứ giác AFHE là hình chữ nhật. b, tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn. c, EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC
a, ta có : góc CFH=90°; góc HEB=90°(góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)
xét tứ giác AEHF có góc A=gócE=góc F=90°
suy ra AEHF là hcn.
b, vì AEHF là hcn suy ra AEHF nội tiếp suy ra góc AFE=AHE( góc nội tiếp chắn cung AE) (1)
ta lại có: góc AHE=ABH(cùng bù với BAH) (2)
từ 1 và 2 suy ra góc AFE=ABH
mà góc CFE+AFE=180°
suy ra góc CFE+ABH=180°
suy ra BEFC nội tiếp
c, gọi I và K lần lượt là tâm đtròn đường kính HB và HC
gọi O là giao điểm AH và EF
vì AEHF là hcn suy ra OF=OH suy ra tam giác FOH cân tại O
suy ra góc OFH=OHF
vì CFH vuông tại F suy ra KC=KF=KH
suy ra tam giác HKF cân tại K
suy ra góc KFH=KHF
mà góc KHF+FHA=90°
suy ra góc KFH+HFO=90°
suy ra EF là tiếp tuyến của đtròn tâm K
tương tự EF là tiếp tuyến đường tròn tâm I
vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC
a)
1. Ta có : ÐBEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> ÐAEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1)
ÐCFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> ÐAFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2)
ÐEAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)
b) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn
=>ÐF1=ÐH1 (nội tiếp chắn cung AE) .
Theo giả thiết AH ^BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2)
=> ÐB1 = ÐH1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => ÐB1= ÐF1 => ÐEBC+ÐEFC = ÐAFE + ÐEFC màÐAFE + ÐEFC = 1800 (vì là hai góc kề bù) => ÐEBC+ÐEFC = 1800 mặt khác ÐEBC và ÐEFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.
c)
Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => DIEH cân tại I => ÐE1 = ÐH1 .
DO1EH cân tại O1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => ÐE2 = ÐH2.
=> ÐE1 + ÐE2 = ÐH1 + ÐH2 mà ÐH1 + ÐH2 = ÐAHB = 900 => ÐE1 + ÐE2 = ÐO1EF = 900
=> O1E ^EF .
Chứng minh tương tự ta còng có O2F ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròndường kính BH và HC.
a)Ta có góc BEH =90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
và góc FHC = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác AFHE , ta có:
góc EAF =90 độ (tam giác ABC vuông tại A)
góc AEH =90 độ (cmt)
góc AFH=90 độ (cmt)
=> tứ giác AFHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
b)Gọi I là giao điểm của AH và EF
Ta có: AH=EF (hcn AFHE) (1)
mà 2 đường chéo AH và EF cắt nhau tại I (vẽ thêm)
=>I là trung điểm của AH và EF (2)
từ (1) và (2)=> IE=IH=IA=IF
Ta có: góc IHF =góc ACH (phụ với góc HAC)
mà góc IHF = góc IFH (tam giác IHF cân tại I (IH=IF) )
=>góc ACH = góc IFH (cùng = góc IHF)
mà góc IFH= góc AEF (2 góc so le trong của AE song song HF(cùng vuông góc AC))
=>góc AEF =góc ACH=>tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn
c)Gọi J là tâm của nửa đường tròn đường kính BH
và K là tâm của nửa đường tròn đường kính HC
Ta có: tam giác KFC cân tại K (KF=KC)
=>góc KFC = góc KCF mà góc KCF=góc IFH (cmt)
=>góc KFC =góc IFH (cùng =góc KCF)
mà góc KFC + góc HFK =90 độ (góc HFC =90 độ)
=>góc IFH + góc HFK =90 độ => góc IFK =90 độ
=>EF là tiếp tuyến của nửa (K) (I thuộc EF) (3)
Ta lại có: tam giác JEH cân tại J (JE=JH)
=> góc JEH =góc JHE
mà góc JHE = góc HCF ( 2 góc so le trong của HE song song CA ( cùng vuông góc AB) )
và góc HCF = góc AEF (cmt)
=>góc JEH= góc AEF
mà góc AEF + góc HEF = 90 độ (góc HEA = 90 độ)
=>góc JEH + góc HEF =90 độ => góc JEF = 90 độ
=>EF là tiếp tuyến của nửa (J) (4)
Từ (3) và (4) => EF là tiếp tuyến chung 2 nửa dường tròn dường kính BH và HC
Cho tam giác ABC vuông ở A (Với AB > AC),đường cao AH.Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A,vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt Ab tại E,nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
a.Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b.Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.
c.Chứng minh AE.AB = AF.AC
Lời giải:
a.
$\widehat{HEB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\widehat{HFC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\widehat{EAF}=90^0$ (gt)
$\Rightarrow AEHF$ là hcn
b. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABH$ vuông tại $H$, đường cao $HE$ ta có:
$AE.AB=AH^2$
Tương tự: $AF.AC=AH^2$
$\Rightarrow AE.AB=AF.AC$
$\Rightarrow BEFC$ là tứ giác nội tiếp
c. Đã cm ở phần b.
Cho tam giác ABC vuông ở A (Với AB > AC),đường cao AH.Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A,vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt Ab tại E,nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
a.Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b.Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.
c.Chứng minh AE.AB = AF.AC
Cho tam giác ABc vuông tại A đường cao AH vẽ đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại M và đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC tại N
a Chứng minh rằng tứ giác AMHN là hình chữ nhật
b Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
c Tìm điều kiện của tam giác ABC để M N có độ dài lớn nhất
a: Xét (I) có
ΔHMB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHMB vuông tại M
Xét (K) có
ΔCNH nội tiếp
HC là đường kính
Do đó; ΔCNH vuông tại N
Xét tứ giác AMHN có
góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ
nên AMHN là hình chữ nhật
b: góc IMN=góc IMH+góc NMH
=góc IHM+góc NAH
=góc HAC+góc HCA=90 độ
=>NM là tiếp tuyến của (I)
góc KNM=góc KNH+góc MNH
=góc KHN+góc MAH
=góc HBA+góc HAB=90 độ
=>MN là tiếp tuyến của (K)