Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1;\left(a>b>0\right)\). Một góc vuông uOv (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}\) không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định ?
Những câu hỏi liên quan
trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip(E) có phương trình chính tắc \(\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\)
, với hai tiêu điểm là F1 và F2. Với điểm M bất kì trên (E) thì chu vi tam giác MF1F2 là
Chu vi: \(P=F_1F_2+MF_1+MF_2=2c+2a=2\sqrt{a^2-b^2}+2a=2\sqrt{169-25}+2.13=50\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm \(C\left(2;0\right)\) và elip (E) : \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1}=1\)
Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E) biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho elip $\left( E \right)$ có phương trình: $\dfrac{{ x^2}}{9}+\dfrac{{{y}^2}}{4}=1$. Gọi ${{F}_{1}}, \, {{F}_2}$ là hai tiêu điểm của $\left( E \right)$. Tìm điểm $M$thuộc $\left( E \right)$ sao cho góc $\widehat{{{F}_{1}}M{{F}_2}}$ bằng ${{90}^{\circ}}$.
Gọi M(x,y)
Trong (E) có : \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\)
Từ đó ta có : \(F_1\left(\sqrt{5};0\right);F_2\left(-\sqrt{5};0\right)\); \(F_1F_2=2\sqrt{5}\)
=> \(\overrightarrow{F_1M}\left(x-\sqrt{5};y\right)\Rightarrow F_1M^2=\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2\)
tương tự \(F_2M^2=\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2\)
Do \(\widehat{F_1MF_2}=90^{\text{o}}\) nên tam giác F1MF2 vuông tại M
=> F1M2 + F2M2 = F1F22
<=> \(\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2+\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2=20\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=5\)
Lại có \(M\in\left(E\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)
từ đó ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5\\\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{9}{5}\\y^2=\dfrac{16}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\\y=\pm\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right.\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho elip $\left( E \right):\dfrac{{ x^2}}{4}+{{y}^2}=1.$ Gọi ${{F}_{1}};{{F}_2}$ là hai tiêu điểm của $\left( E \right)$ và điểm $M\in \left( E \right)$ sao cho $M{{F}_{1}}\bot M{{F}_2}$. Tính $M{{F}_{1}}^2+M{{F}_2}^2$ và diện tích $\Delta M{{F}_{1}}{{F}_2}.$
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\). Gọi hai tiêu điểm của (E) là \(F_1,F_2\) và M là điểm thuộc (E) sao cho \(\widehat{F_1MF_2}=60^0\). Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác \(MF_1F_2\) ?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) và điểm \(A\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\). Gọi d là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là m. Xác định m để d cắt (E) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho A là trung điểm của MN ?
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 2x-3y+1=0
Lập pt đường thẳng(d') qua M(-1',1)và song song với(d)
b)Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy,cho elip có pt(E):x\(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1\)
tính chu vi,diện tích hình chữ nhật của elip
1) Giải hệ phương trìnhleft{{}begin{matrix}dfrac{3}{x-1}-dfrac{2}{y+2}4dfrac{2x}{x-1}+dfrac{1}{y+2}5end{matrix}right.2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y 3x + m^2 -1 và parabol (P) : y x^2a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.b) Gọi x_1 và x_2 là hoành độ các giao điểm của d và (P). Tìm m để left(x_1+1right)left(x_2+1right)1
Đọc tiếp
1) Giải hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\)
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y = 3x + \(m^2\) -1 và parabol (P) : y = \(x^2\)
a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
b) Gọi \(x_1\) và \(x_2\) là hoành độ các giao điểm của d và (P). Tìm m để \(\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1\)
Câu 1:
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\y\ne-2\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x-2+2}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{x-1}-\dfrac{4}{y+2}=8\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-7}{y+2}=-1\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+2=7\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{7}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{60}{7}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=\dfrac{7}{10}\\y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{17}{10}\left(nhận\right)\\y=5\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{17}{10};5\right)\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Câu 2:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(x^2=3x+m^2-1\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x-m^2+1=0\)
\(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2+1\right)\)
\(=9-4\left(-m^2+1\right)=9+4m^2-4=4m^2+5>0\forall m\)
Vậy: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Đúng 1
Bình luận (0)
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy , đồ thị của hàm số \(y=\dfrac{3}{2}x-2\) và \(y=-\dfrac{1}{2}x+2\) cắt nhau tại điểm M có tọa độ là
có phương trình hoành độ giao điểm
3/2.x-2=-1/2.x+2<=>3/2.x+1/2.x=2+2
<=>2x=4<=>x=2
thay x=2 vào hàm số y=3/2.x-2=>y=1
vậy đồ thị hàm số y=3/2.x-2 và y=-1/2.x+2 cắt nhau tại điểm M(2;1)
Đúng 1
Bình luận (0)