\(\left|z+i\right|+\left|z-i\right|=4\)
Tìm tất cả số phức thỏa mãn phương trình trên.
P/s: mình hơi chậm hiểu :v các bạn giải chi tiết giúp mình
Tìm tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:
\(\left|iz-1-3i\right|.\left|\overline{z}+1+i\right|=\left|z^2+\left(-6+2i\right)z+8-6i\right|\) và \(\dfrac{z-3}{z+2}\) là số thuần ảo.
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left|z-3-4i\right|=\sqrt{5}\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z+2\right|^2-\left|z-i\right|^2\). Môđun của số phức \(w=M+mi\) là?
Giải thích cho mình dòng bôi vàng ở dưới ạ, mình cảm ơn nhiều ♥
Mọi điểm M biểu diễn z đều phải thỏa mãn 2 điều kiện: vừa thuộc đường tròn (C) vừa thuộc đường thẳng \(\Delta\) (tham số P)
Do đó, M là giao điểm của (C) và \(\Delta\)
Hay tham số P phải thỏa mãn sao cho (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung
Hay hệ pt nói trên có nghiệm (thật ra chi tiết đó là thừa, chỉ cần biện luận (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung \(\Rightarrow d\left(I;\Delta\right)\le R\) là đủ)
Tìm môđun của số phức\(z=a+bi\) \(\left(a,b\in R\right)\) thỏa mãn \(z-4=\left(1+i\right)\left|z\right|-\left(4+3z\right)i\)
\(\Leftrightarrow z\left(3i+1\right)=\left(\left|z\right|-4\right)i+\left|z\right|+4\)
Lấy module 2 vế:
\(\Rightarrow\left|z\right|.\sqrt{10}=\sqrt{\left(\left|z\right|-4\right)^2+\left(\left|z\right|+4\right)^2}\)
Đặt \(\left|z\right|=x>0\Rightarrow x\sqrt{10}=\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(x+4\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow10x^2=2x^2+32\)
\(\Leftrightarrow x^2=4\)
\(\Rightarrow x=2\)
Vậy \(\left|z\right|=2\)
Tìm số phức \(z\) thỏa mãn hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|z-2i\right|=\left|z\right|\\\left|z-i\right|=\left|z-1\right|\end{matrix}\right.\)
Đặt \(z=x+yi\), ta được hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(y-2\right)^2=x^2+y^2\\x^2+\left(y-1\right)^2=\left(x-1\right)^2+y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1,y=1\)
Vậy \(z=1+i\)
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left|z\right|\left(zz-5-i\right)+2i=\left(6-i\right)z\)?
Ps: giải chi tiết giúp em ạ
đặc \(z=a+bi\) với \(a;b\in R\) và \(i^2=-1\)
ta có : \(\left|z\right|\left(zz-5-i\right)+2i=\left(6-i\right)z\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|z\right|z^2-5\left|z\right|\right)+\left(2-\left|z\right|\right)i=6z-zi\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|z\right|z^2-5\left|z\right|=6\\\left|z\right|-2=z\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|z\right|=z+2\\\left(z+2\right)z^2-5\left(z+2\right)-6=0\end{matrix}\right.\)
từ phương trình : \(\left(z+2\right)z^2-5\left(z+2\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow z^3+2z^2-5z-16=0\) vì đây là phương trình bật 3 nên nó sẽ có 3 nghiệm thuộc tập số phức .
\(\Rightarrow\) có 3 giá trị của \(z\)
vậy có 3 số phức \(z\) thõa mãn điều kiện bài toán .
Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left|z-i\right|=\left|\left(1+i\right)z\right|\)
Giải:
Đặt \(z=a+bi\) với $a,b$ là các số thực
Ta có:
\(|z-i|=|(1+i)z|\Leftrightarrow |a+i(b-1)|=|z||1+i|=|a+bi|\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+(b-1)^2=2(a^2+b^2)\)
\(\Leftrightarrow a^2+(b+1)^2=2\)
Vậy tập hợp biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \((0,-1)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\)
Cho các số phức z1,z2,z3 thỏa mãn \(\left|\text{z}_1+1-4i\right|=2,\left|\text{z}_2-4-6i\right|=1\) và \(\left|\text{z}_3-1\right|=\left|\text{z}_3-2+i\right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức \(P=\left|\text{z}_3-\text{z}_1\right|+\left|\text{z}_3-\text{z}_2\right|\)
\(A.\dfrac{\sqrt{14}}{2}+2\)
\(B.\sqrt{29}-3\)
\(C.\dfrac{\sqrt{14}}{2}+2\sqrt{2}\)
\(D.\sqrt{85}-3\)
Cho x,y,z thoã mãn (z-1)x-y=1 và x+2y=2
Chứng minh rằng \(\left(2x-y\right)\left(z^2-z+1\right)\)=7 tìm tất cả các số nguyên thoã mãn phương trình trên
Tìm số phức z thỏa mãn \(\frac{\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{z-\frac{1}{\overline{z}}}=i\)
Điều kiện \(z\ne0;\left|z\right|\ne1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\overline{z}\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{\left|z\right|^2-1}=i\Leftrightarrow\frac{\overline{z}\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{\left(\left|z\right|-1\right)\left(\left|z\right|+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\overline{z}\left(1+iz\right)=\left(\left|z\right|+1\right)i\)
\(\Leftrightarrow\overline{z}+i\left|z\right|^2=\left(\left|z\right|+1\right)i\) (*)
Giả sử \(z=x+yi,x,y\in R\), khi đó (*) trở thành :
\(x-yi+\left(x^2+y^2\right)i=\left(\sqrt{x^2+y^2}+1\right)i\)
\(\Leftrightarrow x+\left(x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-y-1\right)i=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-y-1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y^2-\left|y\right|-y-1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\\begin{cases}y=-1\\y=1+\sqrt{2}\end{cases}\end{cases}\)
Nếu \(x=0,y=1+\sqrt{2}\) thì \(z=\left(1+\sqrt{2}\right)i\) thỏa mãn điều kiện
Nếu \(x=0,y=-1\) thì \(z=-i\) , khi đó \(\left|z\right|=1\) không thỏa mãn điều kiện
Vậy số phức cần tìm là \(z=\left(1+\sqrt{2}\right)i\)