Cho điểm A và đường thẳng \(\Delta\) không đi qua A . Một điểm M thay đổi trên \(\Delta\) , vẽ tam giác AMN vuông cân tại M (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều ngược kim đồng hồ). Tìm tập hợp các điểm N
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác CD. Qua D kẻ tia DF vuông góc với DC; DE song song với BC ( F thuộc BC; E thuộc AC ). Gọi M là giao điểm của DE với tia phân giác của góc BAC. CMR:
1) CF= 2BD
2) DM= 1/4 CF
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. CMR:
1) DM=EN
2) Đường thẳng BC cắt MN tại I là trung điểm của MN
3) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn. Về phía ngoài của tam vẽ các tam giác vuông cân ABD và ACE đều vuông tại A. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD và CE, P là trung trung điểm của BC. CMR: Tam giác PMN vuông cân
Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC sao cho AM = CN. a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác A. b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN
ai trả lời được mình xin hậu tạ thẻ 10k
cho đoạn thẳng BC cố định. điểm A thay đổi trên 1 nửa mặt phẳng bờ BC (A không thuộc bờ BC). vẽ các tam giác ABD và ACE vuông cân tại B và C, các tam giác đó nằm ngoài tam giác ABC. chứng minh DE luôn đi qua 1 điểm cố định khi A thay đổi
Cho tam giác ABC vuông tại cân tại A ((các đỉnh vẽ theo chiều dương). Biết đỉnh B cố định, đỉnh A di động trên đường tròn (O;R) . Tìm tập hợp các đỉnh C
Cho (O) và (O') cắt nhau tại 2 điểm A và B. Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác điểm A. Qua M vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O') (C, D là tiếp điểm và C nằm ngoài (O). Đường thẳng AC cắt (O) tại P (khác A), AD cắt (O) tại Q (khác A). CD cắt PQ tại K
a) Chứng minh \(\Delta BCD\)đồng dạng với \(\Delta BPQ\)
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KPC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
c) Chứng minh OK vuông góc với PQ
a) Xét tứ giác ADBC: Nội tiếp đường tròn (O') => ^BCD = ^BAD (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD). Hay ^BCD = ^BAQ (1)
Ta thấy: ^BAQ = ^BPQ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BQ) (2)
Từ (1);(2) => ^BCD = ^BPQ
Do tứ giác ADBC nội tiếp (O') nên ^DBC = ^DAP (Cùng phụ ^CAD) hay ^DBC = ^QAP
Mà ^QAP = ^QBP (Cùng chắn cung PQ) nên ^DBC = ^QBP
Xét \(\Delta\)BCD và \(\Delta\)BPQ có: ^BCD = ^BPQ; ^DBC = ^QBP => \(\Delta\)BCD ~ \(\Delta\)BPQ (g.g) (đpcm).
b) Ta có: ^BCD = ^BPQ (cmt) => ^BCK = ^BPK => Tứ giác BKPC nội tiếp đường tròn
=> (KPC) đi qua B. Mà B cố định nên (KPC) luôn đi qua 1 điểm cố định khi M chạy trên tia đối AB (đpcm).
c) Theo t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: ^MCA = ^MBC
Xét \(\Delta\)MAC và \(\Delta\)MCB có: ^MCA = ^MBC; ^BMC chung => \(\Delta\)MAC ~ \(\Delta\)MCB (g.g)
=> \(\frac{BC}{AC}=\frac{MB}{MC}\). Tương tự: \(\frac{AD}{BD}=\frac{MD}{MB}\)
=> \(\frac{AD.BC}{AC.BD}=\frac{MB.MD}{MB.MC}=\frac{MD}{MC}=1\)(MD=MC theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) => \(\frac{AD}{AC}.\frac{BC}{BD}=1\)(3)
Xét \(\Delta\)BPC và \(\Delta\)BQD có: ^BPC = ^BQD (Cùng chắn cung AB); ^BCP = ^BDQ (Cùng phụ ^BDA)
=> \(\Delta\)BPC ~ \(\Delta\)BQD (g.g) => \(\frac{BC}{BD}=\frac{PC}{QD}\)(4)
Từ (3) và (4) => \(\frac{AD}{AC}.\frac{PC}{QD}=1\) hay \(\frac{AD}{QD}.\frac{PC}{AC}=1\) (5)
Áp dụng ĐL Melelaus cho \(\Delta\)APQ ta có: \(\frac{QK}{PK}.\frac{AD}{QD}.\frac{PC}{AC}=1\) (6)
Thế (5) vào (6), suy ra: \(\frac{QK}{PK}=1\) => QK = PK => K là trung điểm PQ
Xét đường tròn (O) có: Dây cung PQ với K là trung điểm PQ => OK vuông góc với PQ (đpcm).
Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy//BC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:
a/ \(\Delta ABC=\Delta MDE\)
b/ Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.
1)Các đường thẳng EM và MD cắt AB và AC lần lượt là K và H.
Kẻ đường thẳng EM,Ta có Vì EC//KM ta có HAMˆHAM^=AMEˆAME^(1)
Vì AB//MD=>KAMˆKAM^=AMDˆAMD^(2)
Mà BACˆBAC^=KAMˆKAM^+HAMˆHAM^(3)
tiếp KMDˆKMD^=KMAˆKMA^+AMDˆAMD^(4)
Từ (1),(2),(3) và (4)=>BACˆBAC^=EMDˆEMD^
Kẻ D với B.Xét tam giác ABD và tam giác MDB có:
DB là cạnh chung
MDBˆMDB^=DBAˆDBA^(vì MD//AB)
ADBˆADB^=DBMˆDBM^(vì xy//BC)
=>Tam giác ABD=Tam giác MDB(g.c.g)
=>DM=AB.
Kẻ E với C.Xét tam giác AEM và tam giác MCA có:
AM là cạnh chung
ACEˆACE^=CAMˆCAM^)(vì ME//AC)
EAMˆEAM^=AMCˆAMC^(vì xy//BC)
=>Tam giác AEM=Tam giác MCA(g.c.g)
=>ME=AC
Xét tam giác ABC và tam giác MDE có:
DM=AB(c/m trên)
ME=AC(c/m trên)
BACˆBAC^=EMDˆEMD^
=>Tam giác ABC=Tam giác MDE(c.g.c)
2)Thiếu điều kiện rồi.
Bài 6 mình sẽ bắt đầu bằng câu b nhé!
b)Vì MACˆMAC^+BAMˆBAM^=90o90o(gt)
Vì MACˆMAC^+CAEˆCAE^=90o90o(gt)
Từ trên=>CAEˆCAE^= BAMˆBAM^
Xét tam giác ABM và tam giác ACE có:
AB=BC(gt)
AM=AE(gt)
CAEˆCAE^= BAMˆBAM^(c/m trên)
=>Tam giác ABM=Tam giác ACE(c.g.c)
=>EC=BM(hai cạnh tương ứng)
c)Ta có: MABˆMAB^+MACˆMAC^=90o90o(gt)
Ta lại có tiếp: MABˆMAB^+BADˆBAD^=90o90o(gt)
=>BADˆBAD^=MACˆMAC^
Xét tam giác ADB và tam giác AMC có:
AB=AC(gt)
DA=AM(gt)
BADˆBAD^=MACˆMAC^(c/m trên)
=>Tam giác ADB=Tam giác AMC(c.g.c)
=>DB=MC(hai cạnh tương ứng)
Ta có BM+MC=BC(do M nằm giữa B và C)
Mà BM=EC(c/m trên)
DB=MC(c/m trên)
=>EC+DB=BC
d)Vì Tam giác ABM=Tam giác ACE(c/m trên)
=>ACEˆACE^=B^B^=45o45o(Vì góc B là góc ở đáy của tam giác vuông cân BAC tại A)
Vậy Ta có C^C^+ACEˆACE^=BCEˆBCE^=90o90o.(1)
Vì Tam giác ADB=Tam giác AMC(c/m trên)
=>C^C^=DBAˆDBA^=45o45o
Vậy B^B^+DBAˆDBA^=DBCˆDBC^=90o90o(2)
Từ (1) và (2)=>BCEˆBCE^= DBCˆDBC^=90o90o vậy BCEˆBCE^+DBCˆDBC^=180o180o mà hai góc này nằm ở vị trí trong cùng phía =>DB//EC
cho đường tròn (O) có tâm là điểm O, đường kính AB=2R. Trên đường thẳng AB lấy điểm H sao cho B nằm giữa A và H(H không trùng với B), qua H dựng đường thăng d vuông góc với AB. Lấy điểm C cố định thuộc đường thẳng OB(C không trùng với O và B). Qua điểm C kẻ đường thẳng a bất kì cắt (O) tại E,F(a không trùng với AB).Các tia AE, AF cắt d lần lượt tại M và N.
1Chứng minh tứ giác BEMH nội tiếp đường tròn
2.Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng tam giác AHN và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1điểm cố định khác A khi đường thẳng a thay đổi.
3.Cho AB = 4cm, BC = 1cm, HB = 1cm. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.
Bạn nào có tâm giúp mik, sắp thi cấp 3 rồi......
Bài tập: Cho đoạn thẳng BC cố định. Trên nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm A bất kỳ không thuộc BC. Dựng các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại B và C ra phía ngoài tam giác ABC. I, H, K lần lượt là hình chiếu cùa D, A, E trên đường thẳng BC.
a) CMR: DI = BH; EK = CH.
b) CMR: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
a) Xét tam giác DBI và tam giác BAH có:
\(\widehat{DIB}=\widehat{BHA}=90^o\)
BD = AB (Tam giác ABD vuông cân tại B)
\(\widehat{DBI}=\widehat{BAH}\) (Cùng phụ với góc ABH)
Vậy nên \(\Delta DBI=\Delta BAH\)(Cạnh huyền góc nhọn)
\(\Rightarrow DI=BH.\)
Tương tự ta chứng minh được EK = CH.
b) Gọi J là trung điểm DE. Do DI và EK cùng vuông góc bới BC nên chúng song song nhau.
Từ J kẻ, JM // DI // EK. Khi đó \(JM\perp BC.\)
Xét hình thang DIKE ta thấy ngay JM chính là đường trung bình của hình thang. Vậy M là trung điểm IK.
Lại có theo câu a, \(\Delta DBI=\Delta BAH\Rightarrow IB=AH\), tương tự KC = AH.
Vậy thì MB = MC hay JM là đường trung tuyến tam giác JBC.
Vậy thì \(JM=\frac{DI+EK}{2}=\frac{BH+CH}{2}=\frac{BC}{2}\)
Xét tam giác JBC có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên nó là tam giác vuông. Lại có JM đồng thời là đường cao nên tam giác JBC vuông cân tại J. Do BC cố định nên J cố định.
Vậy DE luôn đi qua một điểm cố đỉnh, là đỉnh J nằm cùng phía A so với BC và thỏa mãn tam giác JBC vuông cân tại J.
a. cho tam giác ABC , qua giao điểm I các đường phân giác góc B và C của tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt các đường thẳng AB,AC lầ lượt tại M,N. chứng minh MN=MB+NC.
b.kết luận trên thay đổi ra sao nếu I là giao điểm 2 phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và C?
c. kết luận trên thay đổi ra sao nếu I là giao điểm của tia phân giác của góc ngoài góc B và tia phân giác của góc ACB