GỌi H,G,O là trực tâm , trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , cần chứng minh H,G,O

Vẽ hình bình hành BHCK

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\vec{HB}=\vec{CK}\\KC//BH\end{cases}}\)

\(\Rightarrow KC\perp AC\)

Xét tam giác ACK có \(\widehat{ACK}=90^o\Rightarrow\overline{A,O,K}\)(Do là đường kính)

Có \(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=2\vec{HO}\)

\(\Leftrightarrow3\vec{HG}+\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{HO}\)

\(\Leftrightarrow3\vec{HG}+\vec{0}=2\vec{HO}\)(Hệ thức trọng tâm)

\(\Rightarrow\vec{HG}=\frac{2}{3}\vec{HO}\)

\(\Rightarrow\overline{H,G,O}\left(Dpcm\right)\)

∆ABC có H là trực tâm, G là trọng tâm, O là giao điểm của 3 đường trung trực.

Gọi M là trung điểm của BC. Lấy D đối xứng với A qua O

Ta có: OA = OC (tính chất của điểm thuộc đường trung trực)

Mà OA = OD (theo cách chọn điểm phụ) nên OA = OC = OD

Do đó ∆ACD vuông tại C \(\Rightarrow CD\perp AC\)

Mà  \(\Rightarrow BH\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow BH//CD\)(1)

Chứng minh tương tự: \(CH//BD\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD (cũng suy ra được H, M, D thẳng hàng)

∆ADH có AM là trung tuyến và \(AG=\frac{2}{3}AM\left(gt\right)\)nên G là trọng tâm

\(\Rightarrow\)Trung tuyến thứ hai là HO đi qua G

Vậy H, G, O thẳng hàng

Bạn phía dưới làm đúng

 Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G , O là tâm đường tròn 
ngoại tiếp , I là trung điểm BC , AD là đường kính của (O) . 
Chứng minh H , G , O thẳng hàng ? 
Giải : 
Ta có : góc DCA = góc DBA = 90 độ ( góc nội tiếp chắn 1/2 (O)) 
Xét tứ giác BHCD ta có : 
BH // DC ( vì cùng vuông góc với AC ) 
CH // DB ( vì cùng vuông góc với AB ) 
Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành . 
===> H , I , D thẳng hàng và IH = ID (t/c đường chéo hbhành) 
Ta lại có : OI = 1/2 AH ( đ.trung bình tam giác DAH ) (1) 
GI = 1/2 GA (t/chất trọng tâm của ABC ) (2) 
góc HAG = góc GIO ( so le trong vì AH // OI ) (3) 
Do đó tam giác GAH đồng dạng tam giác GIO ( c.g.c) 
===> góc HGA = góc IGO (góc tương ứng của 2 t.giác đ.dạng ) 
Vì góc HGA và góc IGO là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau nên ta suy ra H , G , O thẳng hàng . 
Vậy trong 1 tam giác trực tâm , trọng tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng đó là đường thẳng Euler !

hok tốt

a) Ta có D A B ^ + A B C ^ = 180°.

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía.

Từ đó AD // BC (tính chất hai đường thẳng song song).

b) Cách 1:

E A B ^ + B A D ^ = 70° + 110° = 180°

Cách 2:   E A B ^ = A B C ^ = 70°

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AE// BC ( tính chất hai đường thẳng song song)

Lại có AD//BC ( chứng minh ý a)) nên Ad = AE.

Vậy E, A, D thẳng hàng