Đề như này pk em?

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)

Áp dụng bđt Svac-xơ có:

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

Dấu = xảy ra <=>\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\) và x+y=1

Ta có : \(\dfrac{a^2.1}{x}+\dfrac{b^2.1}{y}=\dfrac{a^2\left(x+y\right)}{x}+\dfrac{b^2\left(x+y\right)}{y}\) = \(a^2+\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}+b^2\) = \(\left(\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}\right)+a^2+b^2\)

Các số dương \(\dfrac{a^2y}{x}\) và \(\dfrac{b^2x}{y}\) có tích không đổi nên tổng của chung nhỏ nhất khi và chỉ khi 

\(\dfrac{a^2y}{x}=\dfrac{b^2x}{y}\Leftrightarrow a^2y^2=b^2x^2\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow a\left(1-x\right)=bx\)

⇔ \(x=\dfrac{a}{a+b}\) ; \(y=\dfrac{b}{a+b}\)

Vậy GTNN của biểu thức \(\left(a+b\right)^2\) khi \(x=\dfrac{a}{a+b}\) và \(y=\dfrac{b}{a+b}\)

Vì x+y=1 và x>0;y>0 nên \(\frac{a^2}{x};\frac{b^2}{y}\)có nghĩa

Ta có: \(a^2\ge0\forall a\)

\(b^2\ge0\forall b\)

GTNN của B đạt được \(\Leftrightarrow a^2;b^2\)nhỏ nhất

GTNN của \(a^2;b^2\)là 0

\(\Rightarrow GTNN\)của P là \(\frac{0}{x}+\frac{0}{y}=0\)

Vậy GTNN của P là 0

a;b là hằng số dương mà bạn

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=\frac{a}{a+b};y=\frac{b}{a+b}\))

Phần này chug: áp dụng Cauchy có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

a) \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{\frac{1}{4}}=4\)

b) Áp dụng BĐT Schwart có: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

c) đề câu này là \(x+\frac{1}{x}\)hay \(\frac{x+1}{x}\)vậy em?

\(x+\frac{1}{x}\)đó

Chứng minh Cái này :

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) với \(x;y>0\)

Quy đòng chuyển vế sẽ tạo thành lũy thừa bậc 2

a,

Có : 1/x + 1/y >= 4/x+y = 4/1 = 4

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2

Vậy ..............

b, Áp dụng bđt sovac ta có : 

a^2/x + b^2/y >= (a+b)^2/x+y = (a+b)^2 >= 0

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2 và a=-b

Vậy ..............

Tk mk nha

câu c áp dụng \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)bạn tự giải nhá.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\ge0\)

Xảy ra khi \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)