( Thông cảm hình bị lệch )

a) + Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta DMC\)có :

AM = DM ( gt )

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)( vì là hai góc đối đỉnh )                => \(\Delta AMB=\Delta DMC\)

MB = MC ( AM là trung tuyến của \(\Delta ABC\))

=> \(\widehat{B}=\widehat{MCD}\)( hai góc tương ứng )

=> DC // AB ( có hai góc so le trong = )

Mà AB \(\perp\)AC ( Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A)

=> DC _|_ AC 

+ Xét \(\Delta BEC\)có :

M là trung điểm của cạnh BC ( Vì AM là trung tuyến của ABC )

=> EM là trung tuyến

A là trung điểm của BE ( Vì EA = AB ) => CA là trung tuyến

Mà EM cắt AC tại N => N là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow NC=\frac{2}{3}CA\Rightarrow NC=2NA\)

+ Ta có \(\Delta AMB=\Delta DMC\Rightarrow AB=CD\)

Xét \(\Delta ACD\)có :

CD + AC > AD ( bđt tam giác ) . Mà CD = AB ; AD = 2AM

=> \(AB+AC>2AM\Leftrightarrow\frac{AB+AC}{2}>AM\)(1)

+ Xét \(\Delta AMB\)có : AM > AB - BM

          \(\Delta AMC\)có : AM > AC - CM

=> 2AM > AB + AC - BM - CM

<=> 2AM > AB + AC - (BM +CM )

<=> 2AM > AB + AC - BC

<=> AM > \(\frac{AB+AC-BC}{2}\)(2)

Từ (1), (2) => Điều cần cm trên đề bài .

Kẻ phân giác BD \(\Rightarrow\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{AD}{AD+CD}=\frac{AB}{AB+BC}\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AB+BC}\Rightarrow AD=\frac{bc}{a+c}\)

\(tan\frac{\alpha}{2}=\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{bc}{a+c}}{c}=\frac{b}{a+c}\left(đpcm\right)\)