\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow b+c=\left(b+c\right).1\ge4a\left(b+c\right)\left(b+c\right)=4a\left(b+c\right)^2\ge4a.4bc=16abc\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4}\right)\)

Ta có: b + c = (b + c).(a + b + c)^2 (vì a + b + c = 1)
Ta có [ (a + b) + c ]^2 >= 4(a + b)c (vì (x + y)^2 >= 4xy )
<=> (b + c).(a + b + c)^2 >= 4(a + b)^2.c
lại có (a + b)^2 >= 4ab => 4(a + b)^2.c >= 16abc (đpcm)
bạn tự tìm dấu '=' nha

Câu hỏi của Đỗ Minh Quang - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em xem cách làm ở link này nhé!

Áp dụng bất đẳng thức coosi ta được:

\(a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\ge4a\left(b+c\right)^2\)

Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b+c\) và \(b=c\) và \(a+b+c=1\Rightarrow a=\frac{1}{2};b=c=\frac{1}{4}\)

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)  ta có ngay \(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(a+b\right)c\). Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức trên một lần nữa ta được

\(a+b=\left(a+b\right)\cdot1\ge\left(a+b\right)\cdot4\left(a+b\right)c=4\left(a+b\right)^2c\ge16abc.\)  (ĐPCM)

cậu Áp dụng bđt cô si để chứng minh \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Áp dụng ta có \(\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

=> \(1\ge4a\left(b+c\right)\)(1)

Áp dụng lần nữa ta có 

\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) (2 )

từ (1),(2), nhận 2 vế ta có 

\(\left(b+c\right)^2\ge16\left(b+c\right)abc\)

=> \(b+c\ge16abc\) (ĐPCM) 

dấu = tự tìm nhé

a,b,c\(\inℕ\) và a+b+c=1 ; a,b,c\(\ge\)0

Ta có 3 TH:

TH1: a=1,b=0,c=0                                                                             TH2:c=1,b=0,a=0

=> b+c=0+0=16.(1.0.0)=0                                                            => b+c=b+1>16.(0.0.1)=0

TH2: b=1,a=0,c=0

=> b+c=1+c> 16.(0.1.0)=0

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

\(a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Leftrightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(\left(b+c\right)^2\ge16abc\left(b+c\right)\)\(\Leftrightarrow b+c\ge16abc\)

1 )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge2\sqrt{a}\\b+1\ge2\sqrt{b}\\a+c\ge2\sqrt{ac}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}=16abc\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16abc\)( đpcm )