Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)

Lại có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+a}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)

Từ (1);(2) => 1 < M < 2 => đpcm

Đặt D= a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)

ta có:D>a/(a+b+c)+b/(b+c+a)+c/(c+a+b)=(a+b+c)/(a+b+c)=1 (*)

Mặt khác, ta có: D =( 1 - b/a+b)+(1 - c/b+c)+(1 - a/c+a) < 3-(b/a+b+c + c/b+c+a + a/c+a+b)=3-1=2

=> D<2 (**)

 Từ (*);(**) =>1<D<2 nên D ko là số nguyên (đpcm)

 xin lỗi bn vì mk ko gõ trong fx được, chỗ nào ko hiểu thì nhắn tin cho mk

đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Ta có: \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

=>A>1 (1)

\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\left(1-\frac{b}{a+b}\right)+\left(1-\frac{c}{b+c}\right)+\left(1-\frac{a}{c+a}\right)<3-\left(\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+a}+\frac{a}{c+a+b}\right)=3-1=2\)

=>A<2(2)

từ (1);(2)=>1<A<2=> A ko là số nguyên=>đpcm
 

M = a/a+b + b/b+c + c/c+a

M > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c

M > a+b+c/a+b+c

M > 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

M = a/a+b + b/b+c + c/c+a

M < a+c/a+b+c + b+c/a+b+c + b+c/a+b+c

M < 2.(a+b+c)/a+b+c

M < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < M < 2, không là số nguyên ( đpcm)

*Ta có :

 a/a+b > a/a+b+c (1)

 b/b+c > b/a+b+c (2)

 c/c+a > c/a+b+c (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra:

 a/a+b + b/b+c + c/c+a > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c = a+b+c/a+b+c = 1 (a)

*Ta có công thức: 

 - Với a; b và c thuộc N* ta có thể rút ra:

 a/b < a+c/b+c

 Áp dụng công thức trên, ta có:

 a/a+b < a+c/a+b+c (4)

 b/b+c < b+a/a+b+c (5)

 c/c+a < c+b/a+b+c (6)

Từ (4); (5) và (6) suy ra:

 a/a+b + b/b+c + c/c+a < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+b/a+b+c = a+c+b+a+c+b/a+b+c = 2a+2b+2c/a+b+c = 2(a+b+c)/a+b+c = 2 (b)

Từ (a) và (b) suy ra:

 1 < a/a+b + b/b+c + c/c+a < 2

=> 1 < M < 2

=> M không phải là số nguyên.

Vậy M không phải là số nguyên.

Để M không phải là số nguyên thì cần chứng minh 1 < m < 2

Cm : M > 1

a/a + b > a/a + b + c  ; b/b + c > b/a + b +c ; c/c +a > c/a + b +c

suy ra M > a/ a + b + c        +      b/ a + b + c           +  c/a +b +c

       hay M > a + b + c / a +b + c = 1

Cm : M < 2

a/ a + b < 2a/a + b + c , b/b +c < 2b/a +b +c , c/c+a < 2c/a+ b +c

nên M < 2a + 2b +2c / a + b + c

    hay M < 2

 Vì 1 < M < 2 nên M không phải là số nguyên 

Gia su : a/a+b > a/a+b+c  (a,b,c THUOC Z )

             b/b+c > b/b+c+a

             c/c+a > c/c+a+b

=> M > 1            (1)

Mat khac , ta lai co : a/a+c < 1 => a/a+b < a+c/a+b+c 

                                                    b/b+c < b+a/b+c+a

                                                    c/c+a < c+b/c+a+b

=> M < 2           (2)

Tu (1) VA (2) => 1 < M < 2 => M ko phai la so nguyen.

Dung 1000000000% luon do, bai nay thay giao mk chua rui!!!

********** K MK NHA!!!

Câu hỏi của Tâm Lê Huỳnh Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

#)Giải :

Ta có : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)

Lại có : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

\(\Rightarrow\) M không phải là số nguyên 

Vì a,b,c, > 0 nên

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)(1)

\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)(2)

\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)(3)

Cộng từng vế của (1), (2), (3) suy ra \(1< M< 2\)

Vậy M không là số nguyên

Vì  \(a,b,c>0\) nên ta có:

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(1)

Lại có:

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< M< 2\)

\(\Rightarrow M\)không phải là số nguyên (đpcm)

+) Do a + b + c> a + b \(\Rightarrow\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

Tương tự \(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)

Lại có a < a + b \(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a+c}{a+b+c}>\frac{a}{a+b}\)

Tương tự \(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c},\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)

Từ (1) và (2) => 1<M<2 => M không phải là số nguyên

Vì a,b,c dương, ta có:

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\) (*)

Lại có: \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+b-b}{a+b}+\frac{b+c-c}{b+c}+\frac{c+a-a}{c+a}=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)

Chứng minh tương tự (*) ta có: \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}>1\)

\(\Rightarrow M< 3-1=2\) (**)

Từ (*) và (**) => 1 < M < 2 => đpcm

Gọi số dư của a và b khi chia m là n 

Ta có: a=m*k+n 

          b=m*h+n

=>a-b=m*k+n -(m*h+n)

=m*k+n-m*h-n

=(m*k-m*h)+(n-n)

=m(k-h) luôn chia hết m

Đpcm