a)

\(A=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{120}\)

\(\Rightarrow3A=3.\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{120}\right)\)

\(\Rightarrow3A=3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{121}\)

\(\Rightarrow3A-A=\left(3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{121}\right)-\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{120}\right)\)

\(\Rightarrow2A=3^{121}-3\)

\(\Rightarrow A=\frac{3^{121}-3}{2}\)

b)

\(2A+3\)

\(=3^{121}-3+3\)

\(=3^{121}\)

Mà 3¹²¹ là lũy thừa của 3

\(\Rightarrow\) 2A + 3 là lũy thừa của 3.

cmr [7+1].[7+2] chia hết cho 3

=8x9

=72

72 chia hết cho 3

ĐCPCM

   Ta có chú ý chẵn cộng chẵn bằng chẵn

                        lẻ cộng chẵn bằng lẻ

                        lẻ cộng lẻ là chẵn

mà ta thấy \(3^{100}\) và\(19^{990}\)là lẻ mà lẻ cộng lẻ bằng chẵn 

=> mà số chẵn chia hết cho 2

ĐCPCM

S=1+31+32+33+...+330

3S=3+3^2+3^3+...+3^{31}3S=3+32+33+...+331

3S-S=3^{31}-13S−S=331−1

2S=3^{4.7+3}-12S=34.7+3−1

2S=81^7.27-12S=817.27−1

2S=\overline{......1}.27-12S=......1.27−1

2S=\overline{......7}-1=\overline{......6}2S=......7−1=......6

S=\overline{........3}S=........3

Vậy chữ số tận cùng của S là 3=> S không phải là số chính phương

1) CMR: (7+1)(7+2)\(⋮\)3

\(\left(7+1\right)\left(7+2\right)=8\cdot9⋮3\left(đpcm\right)\)

2) CMR: \(3^{100}+19^{990}⋮2\)

ta có: \(3^{100}\)có chữ số tận cùng là số lẻ

\(19^{990}\)có chữ số tận cùng là số lẻ

mà lẻ + lẻ = chẵn => đpcm

3) abcabc có ít nhất 3 ước số nguyên tố

ta có: abcabc = abc x 1001 = abc x 11 x 7 x 13

Vậy...

4) Cho \(M=1+3^1+3^2+...+3^{30}\)

Tìm chữ số tận cùng của M. Từ đó suy ra M có phải số chính phương không?

ta có: \(M=1+3^1+3^2+...+3^{30}\)(1)

\(\Rightarrow3M=3+3^2+3^3+...+3^{31}\)(2)

(2) - (1) \(\Leftrightarrow3M-M=\left(3+3^2+3^3+...+3^{31}\right)-\left(1+3^1+3^2+...+3^{30}\right)\)

\(\Leftrightarrow2M=3^{31}-1\)

ta có: \(3^{31}=3^{28}\cdot3^3=\left(3^4\right)^7\cdot27=\left(...1\right).27=...7\Rightarrow2M=...7-1=...6\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}M=...3\\M=...8\end{cases}}\)mà số chính phương không có tận cùng là 3, 8

=>đpcm

Học tốt nhé ^3^

Câu e đó nấy bạn, mik ghi thiếu đề, đáng lẽ là Chứng tỏ 2S +1 là lũy thừa của 3, sửa lại giúm mik nhoa

co cai nit tu di ma tinh

A x 3 = 3 + 3² + 3³+... + 3¹²

A x 3 - A = 3¹² - 1

A x 2 = 3¹² - 1 = 531441 - 1 = 531440

A = 531440 : 2 = 265720

vậy A chia hết cho 5 và tận cùng của A bằng 0

a) = (1+3+3²+3³)+...+(3⁸+3⁹+3¹⁰+3¹¹)

= (1+3+3²+3³)+(1.3⁴....3⁸)

=(1+3+3²+3³)+(1.3⁴....3⁸)

=40 +( 1.3⁴.....3⁸)

Vì 40 chia hết cho 5 => 40 + (1.3⁴....3⁸)

=> A chia hết cho 5

ta có 3A = 3 + 3² +... + 3¹²

=> 2A = 3¹² - 1

ta có \(3^4\equiv1\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow3^{12}\equiv1\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow2A⋮5\)mà (2,5) = 1 => \(A⋮5\)

b)vì A có chẵn số hạng lẻ mà  \(A⋮5\)nên A có tận cùng là 0