Sửa đề: MK\(\perp\)PQ; MN\(\perp\)PR

a: ta có: ΔPQR vuông tại P

=>\(QR^2=PQ^2+PR^2\)

=>\(QR^2=8^2+6^2=100\)

=>\(QR=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Ta có: ΔRPQ vuông tại P

mà PM là đường trung tuyến

nên \(PM=\dfrac{RQ}{2}=5\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác PNMK có

\(\widehat{PNM}=\widehat{PKM}=\widehat{NPK}=90^0\)

=>PNMK là hình chữ nhật

c: Xét ΔRPQ có

M là trung điểm của RQ

MK//RP

Do đó: K là trung điểm của PQ

=>PK=KQ(1)

Ta có: PKMN là hình chữ nhật

=>PK=MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra KQ=MN

Ta có: PK//MN
K\(\in\)PQ

Do đó: NM//KQ

Xét tứ giác KQMN có

KQ//MN

KQ=MN

Do đó: KQMN là hình bình hành

=>QN cắt MK tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của MK

nên O là trung điểm của QN

=>OQ=ON

Xét tứ giác PMQH có

K là trung điểm chung của PQ và MN

=>PMQH là hình bình hành

Hình bình hành PMQH có PQ\(\perp\)MH

nên PMQH là hình thoi

a) Ta có: 
MN_I_Ox 
PQ_I_Ox 
=> MN//PQ 
NP_I_Oy 
QR_I_Oy 
=> NP//QR 

b) Ta có: 
PMN^ = OPQ^ (đồng vị)(*) 
RQO^ = PNQ^ (đồng vị)(**) 
Mặt khác: 
PMN^ + MNP^ = 1v 
PNQ^ + MNP^ = 1v 
=> PMN^ = PNQ^(***) 
Từ (*),(**),(***) => PMN^ =OPQ^ = PNQ^ = RQO^

a) Ta có:
MN_I_Ox
PQ_I_Ox
=> MN//PQ
NP_I_Oy
QR_I_Oy
=> NP//QR

b) Ta có:
PMN^ = OPQ^ (đồng vị)(*)
RQO^ = PNQ^ (đồng vị)(**)
Mặt khác:
PMN^ + MNP^ = 1v
PNQ^ + MNP^ = 1v
=> PMN^ = PNQ^(***)
Từ (*),(**),(***) => PMN^ =OPQ^ = PNQ^ = RQO^

1v là sao

a) Xét tam giác vuông ABR và ADQ có:

AB = AD (gt)

Góc BAR + góc BAP = 90 độ

Góc DAQ + góc BAP = 90 độ

=> Góc BAR = Góc DAQ

=> Tam giác vuông ABR = tam giác vuông ADQ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

=> AR = AQ (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác AQR cân tại A.

CMTT ta có tam giác ADS = tam giác ABP

=> AS = AP => Tam giác APS cân tại A.

b) Tam giác AQR cân tại A => Trung tuyến AM đồng thời là đường cao.

=> AM vuông góc với QR => Góc AMH = 90 độ

Tương tự: Tam giác APS cân tại A => Trung tuyến AN đồng thời là đường cao.

=> AN vuông góc với SP => góc ANP = 90 độ hay góc ANH= 90 độ.

Tam giác AQR vuông cân tại A => Góc AQR = góc ARQ = 45 độ => Góc PQH = 45 độ.

Tam giác APS vuông cân tại A => góc ASP = góc APS = 45 độ => góc QPH = 45 độ (đối đỉnh).

Xét tam giác PHQ có: Góc PQH + góc QPH = 45 độ + 45 độ = 90 độ

=> Tam giác PHQ vuông cân tại H => PH vuông góc với PQ

=> góc NHM = 90 độ

Xét tứ giác AMHN có: Góc AMH = góc ANH = góc NHM = 90 độ

=> AMHN là hình chữ nhật (dhnb)

c) Xét tam giác SQR có:

BC vuông góc CD => RC vuông góc SQ => RC là đường cao.

AP vuông góc AR => QA vuông góc RS => QA là đường cao.

Mà RC cắt QA tại P

Vậy P là trực tâm tam giác SQR.

d) Tam giác ANP vuông tại A có trung tuyến AN => AN = SP/2

    Tam giác CSP vuông tại C có trung tuyến CN => CN = SP/2

=> AN = CN => N thuộc trung trực của AC.

CMTT ta có MA = MC => M thuộc trung trực của AC.

Vậy MN là trung trực của AC.

e) Ta có BA = BC (gt) => B thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (cmt) => B thuộc MN

Tương tự DA = DC (gt) => D thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (cmt) => D thuộc MN

Vậy M, B, N, D thẳng hàng.