1) CMR \(\sqrt{a +\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\) với a\(\ge\)\(\sqrt{b}\)
2)GPT \(2x^2+4x+3=3\sqrt{x^2+x+1} +x^2+3x\)
a. A=(\(\frac{3x+16\sqrt{x}-7}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-1}\)) : (\(2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\))
b. B=(\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}+1\)) :( 1-\(\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}\))
c. C=( \(\frac{\sqrt{x}-4x}{1+4x}-1\)):(\(\frac{1+2x}{1-4x}-\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-1\))
d. D=(\(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a+b}}+\frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}-a+b}\))\(\frac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\)
e. E=\(\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}-b\)
Bài 1: CMR:
a, (4+\(\sqrt{3}\)). (4-\(\sqrt{3}\))=13
b, \(\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}=2\)
c, \(\frac{\sqrt{1}}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{1}}{2-\sqrt{3}}=4\)
d, \(\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b\)(a>0, b>0, a≠b)
Bài 2: CMR:
a, \(\sqrt{a}+\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{a}}\ge2\left(a>0\right)\)
b, a+b+\(\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\left(a,b>0\right)\)
c, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xyz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\left(x,y,z>0\right)\)
d, \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=-8\sqrt{3}\)
e, \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)=a-b(a>0, b>0, a≠b)
Bài 3: Tìm Min hoặc Max(nếu có):
a, \(\sqrt{x^2+9}\)
b, \(\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}\)
c, 1-\(\sqrt{5+2x-x^2}\)
2/
a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)
b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm
Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z\)
d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)
\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)
e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)
1 . Giải phương trình : \(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\)
2 . Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) . CMR : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge ab+bc+ca\)
1. ĐKXĐ: ...
Đặt \(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=t\ge\sqrt{7}\)
\(\Rightarrow t^2=8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}\)
\(\Rightarrow2x+\sqrt{4x^2+9x+2}=\frac{t^2-9}{4}\)
Phương trình trở thành:
\(\frac{t^2-9}{4}+3=t\)
\(\Leftrightarrow t^2-4t+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(l\right)\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4\sqrt{4x^2+9x+2}=t^2-\left(8x+9\right)=-8x\) (\(x\le0\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x\)
\(\Leftrightarrow4x^2+9x+2=4x^2\Rightarrow x=-\frac{2}{9}\)
Bài 2:
Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\Rightarrow3\ge a+b+c\)
Do \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Nên BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)
Thật vậy, ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge3a\) ; \(\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\ge3b\) ; \(\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\ge3c\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+a^2+b^2+c^2\ge3\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+a^2+b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
B3: \(\sqrt{x^4-4x^3+2x^2+4x+1}=3x-1\)
\(pt\Leftrightarrow x^4-4x^3+2x^2+4x+1=\left(3x-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+2x^2+4x+1=9x^2-6x+1\)
\(\Leftrightarrow x^4-4x^3-7x^2+10x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^3-4x^2-7x+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x-5\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=5\end{cases}}\) (thỏa mãn (mấy cái kia loại hết))
1) Rút gọn
a) \(\left(\sqrt{75}-3\sqrt{2}-\sqrt{12}\right)\) \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\)
b) \(\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{11-4\sqrt{7}}\)
c) \(\sqrt{5-2\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}\)
d) \(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
2) a) Cho A= \(3x+1+\sqrt{4x^2-4x+1}\) ( với x>0,5) .Rút gọn rồi tính giá trị của A khi x = \(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}\)
b) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\) ( với 1≤ x ≤ 2 )
c) \(\sqrt{x+2+4\sqrt{x-2}}-2\) ( với x >2)
d) \(\frac{\sqrt{2ab^2}}{\sqrt{162}}\) (với a > 0 )
e) \(\sqrt{9a^2\left(a+1\right)}\) (với a > 0 )
f) \(\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3}}{a+\sqrt{ab}+b}\) ( với ( với a,b ≥ 0 ; a ≠ b)
g) \(\frac{\left(a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\right).\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\) ( với a,b > 0 )
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a) A = \(\frac{1}{x}.\left(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\right)\) với x>1
b) B = \(\frac{2x}{x+3\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+10}{x+5\sqrt{x}+6}\) với x>= 0
c) C = \(\frac{\sqrt{a^3}+a}{a^2+\sqrt{a^5}}.\left(\frac{b^2}{a-\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{b^2}{a+\sqrt{a^2-b^2}}\right)\) với a>0 và |a| > |b|
d) D = \(\frac{a+b\sqrt{a}}{b-a}.\sqrt{\frac{ab+a^2-2\sqrt{a^3b}}{b^2+2b\sqrt{a}+a}}:\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) với b>a>0
Bài 1: tính:
a) \(\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\sqrt{4,5}+\frac{2}{5}\sqrt{50}\right):\frac{4}{15}\sqrt{\frac{1}{8}}\)
Bài 2: Rút gọn:
A= \(\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right).\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)Đk: (a ≥ 0, a ≠ 1)
B= \(\frac{a-3\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}+1}\)
Bài 3: giải phương trình
a) \(\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\)
b) \(\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}\)
Bài 4: tìm giá trị nhỏ nhất:
A=\(\frac{a-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}\) (x ≥ 0)
Bài 3:
a) \(PT\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}=2\sqrt{x-1}\left(x\ge\frac{3}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow2x-3=4\left(x-1\right)\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\left(L\right)\)
PT vô nghiệm
b) \(PT\Leftrightarrow\left(x-1\right)=\sqrt{\left(x-1\right)^2}\left(x\ge1\right)\)
\(\Leftrightarrow x-1=\left|x-1\right|\). Do \(x\ge1\Rightarrow\left|x-1\right|=x-1\)
Suy ra PT <=> x - 1 = x -1
Vậy phương trình đúng với mọi nghiệm thõa mãn đk \(x\ge1\)
\(B=\frac{\left(\sqrt{a}-4\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}-4\)
Bài 1 : Cho biểu thức : A = 2x + \(\frac{\sqrt{9x^2-6x+1}}{1-3x}\)
a. Rút gọn A
b.Tính giá trị A khi x = -3
Bài 2 : Rút gọn :
a. \(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\)(với a \(\ge\)1)
b. \(\sqrt{2x+\sqrt{4x-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x-1}}\)(với \(\frac{1}{4}< x< \frac{1}{2}\))
Bài 3 : Giải PT:
\(\sqrt{2x+\sqrt{4x-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x-1}}\)= \(\sqrt{6}\)
Rút gọn:
a, A = \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}+\frac{x}{36-x}\) (đk: x ≥ 0 và x ≠ 36)
b, B = \(\frac{9-x}{\sqrt{x}+3}-\frac{x-6\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}-3}-6\) (đk: x ≥ 0 và x ≠ 9)
c, C = \(\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}-\frac{2}{\sqrt{ab}}:\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\) (đk: a > 0, b > 0 và a ≠ b)
d, D = \(\left(\frac{2-a\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{2-\sqrt{a}}{2-a}\right)\) (đk: a ≥ 0, a ≠ 2, a ≠ 4)
\(B=\frac{9-x}{\sqrt{x}+3}-\frac{x-6\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}-3}-6\)(đk: x ≥ 0 và x ≠ 9)
\(B=\frac{\left(3-\sqrt{x}\right)\left(3+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}+3}-\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}{\sqrt{x}-3}-6\)
\(B=\left(3-\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}-3\right)-6\)
\(B=3-\sqrt{x}-\sqrt{x}+3-6\)
\(B=-2\sqrt{x}\)
\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}+\frac{x}{36-x}\)(đk: x ≥ 0 và x ≠ 36)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}-\frac{x}{x-36}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}-\frac{x}{x-36}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+6\right)-3\left(\sqrt{x-6}\right)-x}{(\sqrt{x}-6)\left(\sqrt{x}+6\right)}\)
\(=\frac{x+6\sqrt{x}-3\sqrt{x}+18-x}{(\sqrt{x}-6)\left(\sqrt{x}+6\right)}\)
\(=\frac{3\sqrt{x}+18}{(\sqrt{x}-6)\left(\sqrt{x}+6\right)}\)
\(=\frac{3(\sqrt{x}+6)}{(\sqrt{x}-6)\left(\sqrt{x}+6\right)}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{x}-6}\)