Nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2 _ 2(n+1)x + n2 +2n -3 = 0 ( Help me )
nếu phương trình x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0 . Nếu phương trình này có nghiệm thì giá trị nhỏ nhất của a^2+b^2 là....
HELP ME!!!!!
Cho phương trình
(m2 +m +1) x2 -(m2 +2m+2) x-1=0
a) chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tổng: s= x1 +x2
a) Xét pt đã cho có \(a=m^2+m+1\); \(b=-\left(m^2+2m+2\right)\); \(c=-1\)
Nhận thấy rằng \(ac=\left(m^2+m+1\right)\left(-1\right)=-\left(m^2+m+1\right)\)
\(=-\left(m^2+2m.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)=-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\)
Vì \(-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\) và \(-\dfrac{3}{4}< 0\) nên \(-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}< 0\) hay \(ac< 0\). Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu.
b) Theo câu a, ta đã chứng minh được pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\).
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-\left(m^2+2m+2\right)}{m^2+m+1}=\dfrac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}\)
Nhận thấy \(m^2+m+1\ne0\) nên ta có:
\(\left(m^2+m+1\right)S=m^2+2m+2\) \(\Leftrightarrow Sm^2+Sm+S-m^2-2m-2=0\)\(\Leftrightarrow\left(S-1\right)m^2+\left(S-2\right)m+\left(S-2\right)=0\)(*)
pt (*) có \(\Delta=\left(S-2\right)^2-4\left(S-1\right)\left(S-2\right)\)\(=S^2-4S+4-4\left(S^2-3S+2\right)\)\(=S^2-4S+4-4S^2+12S-8\)\(=-3S^2+8S-4\)
Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\) hay \(-3S^2+8S-4\ge0\)\(\Leftrightarrow-3S^2+6S+2S-4\ge0\)\(\Leftrightarrow-3S\left(S-2\right)+2\left(S-2\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(S-2\right)\left(2-3S\right)\ge0\)
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}S-2\ge0\\2-3S\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\ge2\\S\le\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}S-2\le0\\2-3S\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\le2\\S\ge\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\le S\le2\) (nhận)
Khi \(S=\dfrac{2}{3}\) thì (*) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{3}-1\right)m^2+\left(\dfrac{2}{3}-2\right)m+\dfrac{2}{3}-2=0\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}m^2-\dfrac{4}{3}m-\dfrac{4}{3}=0\)\(\Leftrightarrow m^2+4m+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow m+2=0\) \(\Leftrightarrow m=-2\)
Khi \(S=2\) thì (*) \(\Leftrightarrow\left(2-1\right)m^2+\left(2-2\right)m+2-2=0\)\(\Leftrightarrow m^2=0\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
Vậy GTNN của S là \(\dfrac{2}{3}\) khi \(m=-2\) và GTLN của S là \(2\) khi \(m=0\)
Cho phương trình x2 + (m+1)x + 2 = 0.
Tìm giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x12 + x22 nhỏ nhất.
\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4.1.2=\left(m+1\right)^2-8\)
Để PT có 2 nghiệm thì:
\(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-8\ge0\\ \Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\ge8\)
Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(m+1\right)\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(m+1\right)^2-2.2=\left(m+1\right)^2-4\)
Mà \(\left(m+1\right)^2\ge8\) nên \(\left(m+1\right)^2-4\ge4\)
\(\Rightarrow min_{x_1^2+x_2^2}=4\) (dấu bằng xảy ra)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=8\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m+1=8\\\Leftrightarrow m^2+2m-7=0 \)
\(\Leftrightarrow m=-1\pm2\sqrt{2}\)
Cho phương trình x2 - (2m + 1)x - (m2 + 2) = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A = \(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)
(x1, x2 là các nghiệm của phương trình).
Cho phương trình:x^2-6x+2n-3=0 (với n là tham số ) (1)
1) Giải phương trình (1) với n=4
2) Tìm n để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn:
(x1^2 -5x1 +2n -4)(x2^2 - 5x2 +2n-4)=-4
Thay n = 4 vào pt (1) ta có
\(x^2-6x+5=0\\ ta.có.a+b+c=1-6+5=0\\ Vậy.pt.có.n_o:\\ x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=5\)
\(Ta.có:\Delta=b^2-4ac=....=-8n+48\\ Để.pt.\left(1\right).có.1.n_o.phân.biệt.thì.\Delta>0\\ \Leftrightarrow n< 6\)
Vậy m < 6 thì pt (1) có nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) nên theo Vi ét ta có
\(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=6\\ x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2n-3\)
Ta có
\(x^2-6x+2n-3=0\\ \Leftrightarrow x^2-5x+2n-4=x-1\)
Vì x1 x2 là nghiệm pt \(x^2-6x+2n-3=0\) nên x1 x2 là nghiệm PT \(x^2-5x+2n-4=x-1\) nên ta có
\(x_1^2-5x+2x-4=x_1-1.và\\ x_2^2-5x_2+2n-4=x_2-1\\ \Rightarrow\left(x_1^2-5x_1+2n-4\right)\left(x_2^2-5x_2+2n-4\right)=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\)
\(Mà\\ \left(x_1^2-5x_1+2n-4\right)\left(x_2^2-5x_2+2n-4\right)=-4\\ Nên\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=-4\\ \Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1=-4\\ \Leftrightarrow2n-3-6+1=-4\\ \Leftrightarrow2n=4\Rightarrow n=2\left(tm\right)\\ ......\left(kl\right)\)
1. cho phương trình x^2-2(m-3)x-2m-10=0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1^2 +x2^2-x1x2
2. cho phương trình x^2-(2m-1)x +m^2-m =0 . tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 thoả mãn |x1 -2x| bé hơn hoặc bằng 5
3. cho phương trình x^2 - (2m-1)x -2m -11 =0 . tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ;x2 thoả mãn |x1 -x2| bé hơn hoặc bằng 4
4.hai ca nô cùng rời bến A đến bến B .ca nô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ca nô thứ hai 5km nên đến B sớm hơn ca nô thứ hai 30 phút .tính vận tốc mỗi ca nô biết quãng đường AB dài 75 km
3:
\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(-2m-11\right)\)
=4m^2-4m+1+8m+44
=4m^2+4m+45
=(2m+1)^2+44>=44>0
=>Phương trình luôn có hai nghiệm pb
|x1-x2|<=4
=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}< =4\)
=>\(\sqrt{\left(2m-1\right)^2-4\left(-2m-11\right)}< =4\)
=>\(\sqrt{4m^2-4m+1+8m+44}< =4\)
=>0<=4m^2+4m+45<=16
=>4m^2+4m+29<=0
=>(2m+1)^2+28<=0(vô lý)
Cho phương trình: (x−1)(x2−2mx+m2−2m+2)=0(x−1)(x2−2mx+m2−2m+2)=0 (1)
Giá trị m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt là
1: cho phương trình x^2-(m+2)x+m^2-1=0
a, gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình. tìm m thỏa mãn x1-x2=2
b, tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình có hai nghiệm khác nhau
cho phương trình: x^2-(2m+3)x+m=0. Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức x1^2+x2^2 có giá trị nhỏ nhất
PT có 2 nghiệm `x_1,x_2`
`<=>\Delta>0`
`<=>(2m+3)^2-4m>0`
`<=>4m^2+12m+9-4m>0`
`<=>4m^2+8m+9>0``
`<=>(2m+2)^2+5>0`(luôn đúng)
Áp dụng vi-ét:$\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\\x_1.x_2=m\end{cases}$
$x_1^2+x_2^2\\=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2\\=(2m+3)^2-2m\\=4m^2+12m+9-2m\\=4m^2+10m+9\\=(2m+\dfrac52)^2+\dfrac{11}{4} \geq \dfrac{11}{4}$
Dấu "=" `<=>2m=-5/2<=>m=-5/4`